1 随机事件样本空间事件的关系与运算一、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【C 】1. 在电炉上安装了四个温控器，其显示温度的误差是随机的在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度，电炉就断电，以表示“电炉断电”，而为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件等于 【D 】2. 设事件表示“甲种产品畅销而乙种产品滞销”，则事件表示“甲种产品滞销而乙种产品畅销” “甲、乙两种产品均畅销” “甲种产品滞销” “甲种产品滞销或乙种产品畅销”【B 】3. 设是某随机试验中的三个事件，表示“只有发生”，则 【D 】4. 对于任意二事件和，与关系式不等价的是 二、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数设事件表示“出现偶数点”，事件表示“出现的点数能被3整除” (1) 写出试验的样本点及样本空间； (2) 把事件及分别表示为样本点的集合； (3) 事件分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的集合【解】（1）设表示“出现点”，则样本点为，样本空间为（2）, ;（3），表示“出现奇数点”；，表示“出现的点数不能被3整除”；，表示“出现的点数能被2或3整除”；，表示“出现的点数能被2和3整除”；，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”.三、一盒中有只外形完全相同的电子元件（分别标有号码），一次从中任取只，记录所取元件的号码 (1) 写出随机试验的样本点及样本空间； (2) 用样本空间的子集表示下列事件：“最小号码为”；“号码之和为”【解】(1) 设表示“出现号码为”，则(2)四、设为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件：(1) 发生, 与都不发生； 【解】 ； (2) 都发生；【解】 (3) 中至少有两个发生； 【解】或(4) 中至多有两个发生【解】或或 2 概率的古典定义概率加法定理一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1. 电话号码由七个数字组成，每个数字可以是中的任一个数（但第一个数不能为），则电话号码是由完全不同的数字组成的概率为2. 把本书任意地放在书架上，则其中指定的本书放在一起的概率为3. 将个球队任意分成两组（每组个队）进行比赛，则最强的两个队恰好分在不同组内的概率为4. 一盒中有张奖票（其中只有张有奖），现有两人依次从盒中各抽一张奖票第二人抽奖时不知道第一人是否中奖，则第二人中奖的概率为5. 一批产品共有件, 其中有件次品任取件产品恰有件是次品的概率为;任取件产品没有次品的概率为; 任取件产品中次品不少于件的概率为6. 在区间内随机地取两个数，则所取两数之和不超过概率为二、一批产品共有件，其中一等品件，二等品件现从这批产品中任取件，求取出的产品中恰有件等级相同的概率【要求：使用互不相容情形的加法定理】【解】设取出的产品中恰有件等级相同的概率为则三、在到共一百个正整数中任取一个数，求这个数能被或整除的概率【解】设这个数能被或整除的概率为则四、 设，求三事件中至少有一个发生的概率【解】因为,所以，从而,可推出,所求为 . 3 条件概率概率乘法定理全概率公式与贝叶斯公式一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1设是随机事件， 则2设是随机事件，已知，则3设是随机事件，则 二、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【D 】1已知事件发生必导致事件的发生，且，则 【B 】2已知，则 【A 】3已知事件与满足条件，且，则 三、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率【解】设=“拨通电话”，则 ,故；四、试卷中的一道选择题共有个答案可供选择，其中只有个答案是正确的某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案设该考生会做这道题的概率为（1）求该考生选出此题正确答案的概率（2）已知该考生答对了此题，求该考生确实会解此题的概率【解】设A:该考生选出此题正确答案,B:该生会做此题，则（1）（2）五、盒中放有个乒乓球，其中有个是新的第一次比赛时从盒中任取个来用，比赛结束后仍放回盒中第二次比赛时再从盒中任取个，求第二次比赛时取出的都是新球的概率【解】设A: 第二次比赛时取出的都是新球,:第一次比赛时取出i个新球， 4 随机事件的独立性独立试验序列一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1两射手独立地向同一目标各射击一次，假设两射手的命中率分别为和，则目标被击中的概率为2. 设事件与独立，则3. 一射手对同一目标独立地进行次射击，假设每次射击命中率相同，若至少命中次的概率为，则该射手的命中率二、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【 C 】1已知与相互独立，且，则下面命题不正确的是 【 D 】2一种零件的加工由两道工序完成，已知第一道工序的废品率为，第二道工序的废品率为，则该零件加工的成品率为 【 D 】3某人向同一目标独立重复射击，每次命中的概率为，则此人次射击恰好命中次的概率为 三、一个工人看管三台车床，在一小时内车床需要工人照管的概率：第一台等于，第二台等于，第三台等于求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率【解】设A: 一小时内第一台车床需要工人照管,:一小时内第二台车床需要工人照管:一小时内第三台车床需要工人照管，:一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管，则 四、电路由电池与两个并联的电池及串联而成设电池损坏的概率分别是，求电路发生间断的概率【解】设: 电池a损坏，: 电池b损坏，: 电池c损坏，: 电路发生间断，则五、某机构有一个人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率【解】设: 任何一人贡献正确意见，则于是所求概率为5 离散随机变量三个重要的离散分布一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1设离散随机变量的概率分布为，则常数2某段高速公路每周发生交通事故的次数服从参数为的泊松分布，则该段高速公路每周发生次交通事故的概率为（取）3自动生产线在调整以后出现废品的概率为生产过程中出现废品时立即进行调整则在两次调整之间生产的合格品数的概率分布为： 二、已知一批产品共个，其中有个次品（）不放回抽样：抽取个产品，求样品中次品数的概率分布（）放回抽样：抽取个产品，求样品中次品数的概率分布【解】（1）设随机变量为取出的样本中的次品数，则，即的概率函数为从而的概率分布为01234（2）设随机变量为取出的样本中的次品数,则,的概率函数为从而的概率分布为0123456三、一批零件中有个合格品与个废品安装机器时从这批零件中任取个如果每次取出的废品不再放回去，设表示在取得合格品以前已取出的废品数，求的概率分布【解】设随机变量为在取得合格品以前已取出的废品数，则可能取值为0,1,2,3， 即0123四、电话总机为个电话用户服务在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于，求在一小时内有个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算）【解】（1）设随机变量为一小时内使用电话的用户数，则, （2）用泊松分布计算 相对误差为 6 随机变量的分布函数连续随机变量的概率密度一、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【C 】1. 若函数是某个连续随机变量的分布函数，则 【B 】2. 若函数是某个连续随机变量的概率密度，则 【 A 】3. 设与分别为随机变量与的分布函数，若函数是某随机变量的分布函数，则必有 【 B 】4. 设随机变量的概率密度为 已知，则 二、一批零件中有个合格品与个废品安装机器时从这批零件中任取个如果每次取出的废品不再放回，求在取得合格品之前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形【解】设随机变量为在取得合格品以前已取出的废品数，则可能取值为0,1,2,3， 即0123故的分布函数为 其图形见下：三、设连续随机变量的分布函数为（1）求系数及（2）求落在区间内的概率（）求的概率密度【解】(1) 由， 解得 即(2) (3) 的概率密度为，四、设随机变量的概率密度为（1）求系数（2）求落在区间内的概率（3）求随机变量的分布函数【解】(1)由，得，解得，即有(2) (3) ， 7 均匀分布指数分布随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔分钟有一辆汽车通过乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的求乘客候车时间不超过分钟的概率【解】设随机变量表示乘客的候车时间，则，其密度函数为于是有二、已知某种电子元件的使用寿命（单位：）服从指数分布，概率密度为任取个这种电子元件，求至少有个能使用以上的概率【解】设“至少有个电子元件能使用1000h以上”；分别表示甲、乙、丙元件能使用1000h以上则由加法公式及的独立性有【另解】设“3个电子元件中至少有个能使用1000h以上”，“3个电子元件中每个都不能使用1000h以上”，任一元件不能使用1000以上的概率为故 三.设随机变量服从二项分布，求下列