高中数学秒杀型推论高中数学秒杀型推论一 函数1. 抽象函数的周期（1）f（ax)=f(bx) T=|b-a|（2）f（ax)=-f(bx) T=2|b-a|（3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a（4）f(x-a)=f(x+a) T=2a（5）f(x+a)=-f(x) T=2a2奇偶函数概念的推广及其周期：（1）对于函数f（x），若存在常数a，使得f（a-x）=f（a+x），则称f（x）为广义（）型偶函数，且当有两个相异实数a，b同时满足时，f（x）为周期函数T=2|b-a|（2）若f（a-x）=-f（a+x），则f（x）是广义（）型奇函数，当有两个相异实数a，b同时满足时，f（x）为周期函数T=2|b-a|3.抽象函数的对称性 （1）若f（x)满足f（a+x）+f（b-x）=c 则函数关于（，）成中心对称（充要）（2）若f（x）满足f（a+x）=f（b-x）则函数关于直线x=成轴对称（充要）4.洛必达法则，设连续可导函数f(x)和g(x)二、三角1.三角形恒等式（1）在中， （2） 正切定理&余切定理：在非Rt中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （3） （4） （5）2任意三角形射影定理（又称第一余弦定理）：在ABC中abcosCccosB；bccosAacosC；c=acosBbcosA3. 任意三角形内切圆半径r=（S为面积），外接圆半径欧拉不等式：R2r4梅涅劳斯定理如下图，E.D.F三点共线的充要条件是 5塞瓦定理 如下图，AD、BE、CF三线共点的充要条件是 6. 斯特瓦尔特定理：如下图，设已知ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有ABDC+ACBD-ADBCBCDCBD7、和差化积公式（只记忆第一条）sin+sin=2sincossin-sin=2cossin cos+cos=2coscos cos-cos=-2sinsin8、积化和差公式sinsin=-coscos=sincos= cossin=9、万能公式10三角混合不等式：若x（0，),sinxxtanx当x0时sinxxtanx11.海伦公式变式如下图，图中的圆为大三角形的内切圆，大三角形三边长分别为a.b.c，大三角形面积为12.双曲函数定义双曲正弦函数sinhx=，双曲余弦函数coshx=易知（1）奇偶性：sinhx为奇函数，coshx为偶函数（2）导函数：（sinhx）=coshx，（coshx）=sinhx（3）两角和：sinh（x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhy cosh（x+y）=coshxcoshy+sinhxsinhy（4）复数域：sinh（ix）=isin（x） cosh（ix）=icos（x）（5）定义域：xR（6）值域：sinhxR，coshx1，+）13.三角形三边a.b.c成等差数列，则14.三角形不等式（1）在锐角中，（2）在中，（3）在中，sinAsinBcos2Acos2B15ASA的面积公式：三、复数1欧拉公式（泰勒级数推出） cos+isin=ei2棣莫弗定理（欧拉公式推出） （cos+isin）n=cos(n)+isin(n)3.复数模不等式（三角不等式） |z1+z2+zn|z1|+|z2|+|zn| 当且仅当所有复数幅角主值相等时等号成立45. 复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)四、数列（所有通过递推关系得出通项后都要检验首项）1.An+1=kAn+f(n)两边同除以kn+1，构造数列，通过累加法得出通项公式2. An+1=kAn+C设一常数x，An+1+x=k（An+x） An+1 =kAn+（k-1）x则（k-1）x=C，求出x=，得到等比数列,公比为k3不动点法：形如An+1=（d0，当d=0时，则是第二种情况），设函数f(x)=，x=的根称为f(x)的不动点，（1）若函数f（x）有2个不动点， 则数列是一个等比数列，An=，An=（2）若函数f（x）只有一个不动点 则数列数一个等差数列，An=（3）若函数f（x）没有不动点，则数列An是周期数列，周期自己找4特征方程法：形如An+2=pAn+1+qAn称为二阶递推数列，我们可以用它的特征方程x-px-q=0的根来求它的通项公式（1）若方程有两根x1，x2，则An=x1n-1+x2n-1 (,可根据题目确定)（2）若只有一个根x0An=(+n)x0n-1 (,可根据题目确定)5变系数一阶递推数列四、不等式1.权方和不等式（赫德尔不等式推出）当且仅当2.黎曼和-定积分不等式级数与定积分之间的关系设可积函数f(x)当f(x)为减时，当f(x)为增时，3琴生不等式函数的平均数与平均数的函数之间的关系当f(x)为凹函数，即f（x）0时当f(x)为凸函数，即f（x）0时，当mn0时，五、排列组合1隔板法I把n个元素放到m个集合中，所得集合均非空，则有种x1+x2+xm=n的正整数解个数为2.隔板法II把n个元素放到m个集合中，所得集合可为空，则有种x1+x2+xm=n的非负整数解个数为（a1x1+a2x2+amxm）n展开式的项数为3.圆排列从n个元素中抽取m个元素，按照一定的顺序排列成一圈，叫做一个圆排列，圆排列的个数4.重复组合从n个元素中抽取m个元素，元素可以重复选取，不管顺序，组成一组，叫重复组合，重复组合个数5组合恒等式（只例举了最简洁的四个）6.从互不相同的n个非零数字中任取m个，所得m位数之和为S，S=，其中为n个非零数字的算术平均数7（ax+by）n展开式中，第k项系数绝对值最大，则其中 表示高斯函数，即取整函数六、解析几何1圆锥曲线统一极坐标方程2圆锥曲线统一焦点弦长公式3A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），当且仅当时，三点共线4. A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四点共圆的充要条件5.A1x+B1y+C1z=0 A2x+B2y+C2z=0 A3x+B3y+C3z=0三线共点的充要条件=06过（x0，y0）引圆锥曲线F（x,y）的弦，弦中点的轨迹方程为y-y0=F（x,y）（x-x0），当（x0，y0）为弦中点时，弦中点轨迹方程为y-y0=F（x0,y0）（x-x0）7.定比分点公式：A（xA，yA），B（xB，yB），AB的+1等分点坐标为（）8.若抛物线y2=2px，AB是抛物线上的动弦，kOAkOB=，则AB恒过定点（）9.抛物线焦点弦性质：抛物线焦点弦两端点A（x1，y1）、B（x2，y2），焦点弦斜率为k，焦点弦长度为L（1）y1y2=-p2x1x2=x1+x2=p+=y1+y2=（2）L=x1+x2+p=（3）k=（4）（5）10圆锥曲线焦点弦性质（通性）：焦点弦长为L，（1）已知x1+x2时，椭圆：L=2a-e（x1+x2）双曲线：L=e-2a抛物线：L=+p（2）已知焦点弦倾斜角时，L=（3）椭圆、抛物线、双曲线（焦点弦端点在同支）焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数双曲线（焦点弦端点在异支）焦点弦的两个焦半径倒数之差为常数（4）圆锥曲线正交焦点弦倒数之和为常数（5）圆锥曲线焦点弦AB的中垂线于对称轴（标准方程中为x轴）于D，（6）圆锥曲线内，最长的焦点弦为通径11.圆锥曲线的焦半径（通性）（1）极点为焦点，极轴为x轴的圆锥曲线极坐标方程 式中的为极径，即焦半径，为极角（2）已知焦半径端点的横坐标x时12双焦点三角形面积：F1.F2为有心圆锥曲线两焦点P为椭圆上一个点，P为双曲线上一个点，13.圆锥曲线幂定理：圆锥曲线F（x,y）Ax2+By2+Dx+Ey+F=0与一条过M（x0，y0），且倾斜角为的直线L交于P1.P2两点，则