中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)高考中悄然兴起的双切线问题解决双切线问题的通法 我们把过一点作圆锥曲线的两条切线叫做圆锥曲线的双切线,关于圆锥曲线的双切线问题,近年来在高考中悄然兴起;由于该类试题涉及双切线、双切点、双斜率等多种参量,而成为难点问题.母题结构:己知圆锥曲线C1、C2,过曲线C1上一点P作曲线C2的两条切线,交曲线C1于A,B两点,记切线PA,PB的斜率分别为k1,k2(k1k2),求k1+k2和k1k2.解题程序:根据点P在曲线C1上,设点P(x0,y0)和过点P且与曲线C2相切的切线l:y-y0=k(x-x0);由直线l与曲线C2相切的条件(当曲线C2为圆时,根据圆心到直线l的距离等于圆的半经;当曲线C2为非圆二次曲线时,把直线l的方程代入曲线C1的方程,得关于x或y的一元二次方程,根据该一元二次方程根的判别式=0),得关于斜率k的一元二次方程(称为斜率方程);由k1,k2是斜率方程的两根,根据韦达定理,求k1+k2和k1k2. 1.圆的双切线 子题类型:(2011年浙江高考理科试题)已知抛物线C1:x2=y,圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点M.()求点M到抛物线C1的准线的距离;()已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点,若过M,P两点的直线l垂直于AB,求直线l的方程.解析:()由抛物线的准线:y=-点M(0,4)到抛物线C1的准线的距离d=4+=;()设P(x0,x02),A(x1,x12),B(x2,x22)(x00,1,x1x2),过点P的圆C2的切线:y-x02=k(x-x0),则=1(x02-1)k2-2(x02-4)x0k+(x02-4)2-1=0,设PA,PB的斜率分别为k1,k2(k1k2),则k1,k2是方程的两根k1+k2=,k1k2=;由y-x02=k(x-x0)与x2=y联立得:x2-kx+kx0-x02=0,由于x0是此方程的根x1=k1-x0,x2=k2-x0kAB=x1+x2=(k1+k2)-2x0=-2x0=-,kMP=;由MPABkABkMP=-1-=-1x0=直线l:y=x+4.点评:解决双切线问题的关键是求两切线斜率的和与积;设出“统一”的切线方程,不仅有利于通过建立斜率方程,求斜率的和与积,而且可以避免对两切线分别运算,减少计算量,优化解题过程. 2.曲线内接三角形的内切圆 子题类型:(2009年江西高考试题)如图,已知圆G:(x-2)2+y2=r2是椭圆+y2=1的内接ABC的内切圆,其中A为椭圆的左顶点.()求圆G的半径r;()过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E,F两点,证明:直线EF与圆G相切.解析:()设B(2+r,y0),过圆心G作GDAB于D,BC交长轴于H,则|GD|:|AD|=|BH|:|AH|r:=y0:(6+r)y0=;由点B在椭圆上+()2=1r=;()设过点M与圆G相切的直线:y=kx+1,ME,MF的斜率分别为k1,k2(k1k2),则=32k2+36k+5=0k1+k2=-,k1k2=;将y=kx+1代入x2+16y2=16得:(16k2+1)x2+32kx=0异于零的解x=-y=E(-,),F(-,)kEF=直线RF:y-=(x+)y=x+(由32k12+36k1+5=0+=-)y=x-圆心G到直线EF的距离d=直线EF与圆G相切.点评:对于椭圆、抛物线、双曲线,总存在圆,使其与任意内接三角形二边相切时,也与另一边相切,这是解析几何的著名问题,使用我们的方法可解决该名题. 3.非圆曲线的双切线 子题类型:(2014年广东高考试题)已知椭圆C:+=1(ab0)的一个焦点为(,0),离心率为.()求椭圆C的标准方程; ()若动点P(x0,y0)为椭圆外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析:()令c=,c=,e=a=3,c=b=2椭圆C:+=1;()设两切线为l1,l2;当l1x轴或l1x轴时,由l1l2l2x轴或l2x轴x0=3,y0=2;当l1不垂直于x轴且不平行于x轴时,设l1,l2的斜率分别为k1,k2,则l1:y-y0=k1(x-x0),代入椭圆C的方程得:(9k12+4)x2+18(y0-k1x0)k1x+9(y0-k1x0)2-36=0;由直线l1与椭圆C相切=0(x02-9)k12-2x0y0k1+y02-4=0k1是方程(x02-9)k2-2x0y0k+y02-4=0的根,同理可得k2也是方程(x02-9)k2-2x0y0k+y02-4=0的根k1k2=;又由l1l2k1k2=-1=-1x02+y02=13,且当x0=3,y0=2时,也满足x02+y02=13.综上,点P的轨迹方程是x2+y2=13.点评:非圆曲线的双切线问题有别于圆的双切线问题是建立斜率方程的途径,除此之外的解题过程一致,解题思想相同,即把切线的斜率视为基本量:先由切线的斜率表示待求量,然后,根据斜率的和与积,“整体”去求待求量. 4.子题系列:1.(2012年湖南高考文科试题)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.()求椭圆E的方程;()设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1、l2,当直线l1、l2都与圆C相切时,求点P的坐标.2.(2008年全国高中数学联赛试题)如图,P是抛物线y2=2x上的动点,点B,C在y轴上,圆(x-1)2+y2=1内切于PBC,求PBC面积的最小值.3.(2012年湖南高考理科试题)在直角坐标系xOy中,曲线C1的点均在圆C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.()求曲线C1的方程;()设P(x0,y0)(y03)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.证明:当P在直线x=-4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.4.(2011年浙江高考文科试题)如图,设P是抛物线C1:x2=y上的动点.过点P做圆C2:x2+(y+3)2=1的两条切线,交直线l:y=-3于A,B两点.()求C2的圆心M到抛物线C1准线的距离;()是否存在点P,使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.5.(2013年辽宁高考试题)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py,点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-.()求p的值;()当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).6.(2010年广东高考试题)一条双曲线-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x2,-y1)是双曲线上不同的两个动点.()求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;()若过点H(0,h)(h1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1l2.求h的值. 5.子题详解:1.解:()由c=2,e=a=4,b2=12椭圆E:+=1;()设P(x0,y0),过P与圆C相切的直线l:y-y0=k(x-x0),则+=1,且=(2-x0)2-2k2+2(2-x0)y0k+(y02-2)=0k1k2=2y02=(x0-2)2+25x02-8x0-36=0x0=-2,点P(-2,3),(,).2.解:()设P(2t2,2t),PB,PC的斜率分别为k1,k2,过P与圆相切的直线l:y-2t=k(x-2t2),则=14t2(t2-1)k2-4t(2t2-1)k+4t2-1=0k1+k2=,k1k2=;在y-2t=k(x-2t2)中,令x=0得y=2t-2t2kB(0,2t-2t2k1),C(0,2t-2t2k2)|BC|=2t2|k1-k2|=2t2PBC的面积S=|BC|2t2=(t1)=2(t2-1)+28;当且仅当t=时,等号成立PBC面积的最小值=8.3.解:()设M(x,y),由|x+2|=-3(易知圆C2上的点位于直线x=-2的右侧x+20)=x+5曲线C1:y2=20x;()设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),PA,PC的斜率分别为k1,k2,过P(-4,y0)且与圆C2相切的直线y-y0=k(x+4)(k0),则=372k2+18y0k+y02-9=0k1+k2=-,k1k2=(y02-9);将y-y0=k(x+4)代入y2=20x消去x得:ky2-20y+20(y0+4k)=0y1y2=,y3y4=y1y2y3y4=400=400=6400.4.解:()由抛物线的准线:y=-点M(0,-3)到抛物线C1的准线的距离d=3-=;()设P(x0,x02),过点P的圆C2的切线:y-x02=k(x-x0),则抛物线C1在点P处的切线:y-x02=2x0(x-x0)(x00)交直线l于点D(,-3),且=1(x02-1)k2-2(x02+3)x0k+(x02+3)2-1=0(当x0=1时,不合题意),设PA,PB的斜率分别为k1,k2(k1k2),则k1,k2是方程的两根k1+k2=,k1k2=;由y-x02=k(x-x0)与y=-3xA=x0-,xB=x0-;由xA+xB=2xD2x0-(x02+3)(+)=2+=x0=点P(,2).5.解:()设过点M的抛物线C1的切线:y-y0=k(x-x0),代入x2=4y得:x2-4kx+4(kx0-y0)=0=16k2-16(kx0-y0)=0k2-kx0+y0=0;因当x0=1-时,k=-y0=;由点M(x0,y0)在抛物线C2上(1-)2=-2pp=2;()设A(x1,),B(x2,),N(x,t);由()知x=2kx1=2k1,x2=2k2,且k1+k2=x0,k1k2=y0x=k1+k2=x0,y=(x12+x22)=(k12+k22)=(k1+k2)2-2k1k2=(x02-2y0)x0=x,y0=x2-y;由x02=-4y0x2=-4(x2-y)轨迹方程:3x2=4y.6.解:()由A1(-,0),A2(,0)直线A1P:y=(x+),A2Q:y=-(x-),两式相乘得:y2=-(x2-2);由点P(x1,y1)在双曲线-y2=1上=y2=-(x2-2)轨迹E:+y2=1;()设直线l1和l2的斜率分别为k1,k2,过点H与轨迹E都只有一个交点的直线l:y=kx+h,代入x2+2y2=2得:(2k2+1)x2+4khx+2h2-2=0=16k2h2-4(2k2+1)(2h2-2)=02k2+(1-h2)=0k1k2=(1-h2);由l1l2k1k2=-1h=.