数学建模 摘要本文针对嘌呤霉素在某项酶促反应中对反应速度和底物浓度之间的关系的影响的问题，根据实际可知符合底物浓度与反应速度的模型有两种，即Michaelis-Menten模型和指数增长模型。对于Michaelis-Menten模型，例题中已经详细分析，不再详细讨论。本论文旨在建立指数模型对实际数据进行拟合分析。由酶促反应的基本性质知，酶浓度x和反应速度y之间满足当底物浓度较小时，反应速度大致与浓度成正比；在底物浓度很大，渐进饱和时，反应速度将趋于一个固定值，由此建立一个指数增长模型 并使用Matlab中nlinfit函数对给出数据进行非线性回归，用cftool函数对结果进行验证，确定出 此时 。 为使模型更加准确，改进模型为 ，用同样的方法进行拟合与分析，得出 ， 和 ，此时 。同过两个对模型进行预测与做残差图等方法，我们发现第二个模型相比第一个有所改进。我们通过对实际问题的仔细分析，把实际问题转化成为数学上求解线性回归的问题，并建立了广为大家所熟悉的数学模型指数模型。通过数学软件的求解，得出模型中变量的系数。由于模型中的有些参数是估计的，考虑到实际与理论的差距，为了是使理论分析更贴近生活实际，我们从简略模型到优化模型进行了进一步分析，通过计算机利用数学软件MATLAB对问题进行了求解分析，得到了比较客观的分析结果。最后我们还根据模型的特点，对模型进行了推广，使其更具有一般性，能够解决更多实际问题。关键词：指数模型 非线性回归 MATLAB nlinfit cftool 残差图 一、问题提出 某生化系学生为了研究嘌呤霉素在某项酶促反应中对反应速度和底物浓度之间的关系的影响，设计了两个实验，一个实验中使用的酶是经过嘌呤霉素处理的，而另一个是未经过嘌呤霉素处理的，所的实验数据见下表底物浓度/ppm0.020.060.110.220.561.10反应速度处理764797107123139159152191201207200未处理6751848698115131124144158160对实验处理结果实际数据做非线性回归分析，其结果如何？试做模型的残差图进行比较。二、基本假设1、假设1. 当底物浓度较小时，反应速度大致与浓度成正比（即一级反应）；2、假设2. 当底物浓度很大时，渐进饱和时，反应速度将趋于一个固定值最终反应速度（即零级反应）3、假设3. 反应速度与底物浓度成正比关系，即线性关系；4、假设4. 反应速度不受外界温度的影响，而酶的活性在反应中一直保持不变。三、符号说明符号意义单位备注酶促反应速度ppm/h底物浓度ppm系数/a系数b系数四、问题分析酶促反应动力学简称酶动力学，主要研究酶促反应的速度和底物浓度以及其他因素的关系。在底物浓度低时，酶促反应是一级反应；在底物浓度高时，酶促浓度是零级反应。当反应浓度低时，反应速度大致与浓度成正比；当浓度很大时，渐进饱和时，反应速度趋近于一个固定值最终反应速度。以下指数增长模型满足这个性质即 与下面分别对这两个模型进行分析求解。五、模型的建立与求解5.1 模型一建立与求解5.1.1 模型一的分析由给出模型，先用Matlab中的nlinfit函数可求出系数，此处需先给出系数的初始值进行迭代，根据函数意义，为最终反映速度， 反映该酶促反应达最终速度的快慢，粗略估其值为220与10.5.1.2 模型一模型的建立5.1.3 模型一模型的求解利用MATLAB统计工具箱中的nlinfit命令代入初值进行求解，将得到的结果作为初值再次代入到模型中求解，得到稳定的系数（见下表）。 参数参数估计值参数置信区间192.0945173.8772 210.311711.38547.7571 15.0137rmse(剩余标准差)=17.44005.1.4 模型一结果的分析及验证用MATLAB中cftool函数进行验证，得出结果如下：f(x) = a*(1-exp(-b)*x)Coefficients (with 95% confidence bounds): a = 192.1 (173.9, 210.3) b = 11.38 (7.757, 15.01)Goodness of fit: SSE（残差平方和）: 3042 R-square: 0.9014 Adjusted R-square: 0.8916 RMSE: 17.44有上述两种模型可以得出 、 的参数估计值，以及置信区间。5.2 模型二模型建立与求解5.2.1 模型二的分析因反映中每一刻的底物浓度不确定，会导致最终反映速度为不确定量，由此得出模型二。再定初始值时，因 最终应趋近于1，所以令 初值为0，其他初值不变。 5.2.2 模型二模型的建立5.2.3 模型二模型的求解依然在代入初值后，多次将结果重新代入后得到稳定的系数（见下表）。参数参数估计值参数置信区间155.6146129.8646, 181.364717.812110.0720, 25.5522)-0.2670-0.4717, -0.0624 rmse= 14.21405.2.4 模型二结果的分析及验证用MATLAB中cftool函数进行验证，得出结果如下：f(x) = a*(exp(-c)*x)-exp(-b)*x)Coefficients (with 95% confidence bounds): a = 155.6 (129.9, 181.4) b = 17.81 (10.07, 25.55) c = -0.267 (-0.4717, -0.0624)Goodness of fit: SSE: 1818 R-square: 0.9411 Adjusted R-square: 0.928 RMSE: 14.21对比以上两个模型的预测区间，如下表所示：（预测区间为预测值）实际值模型1的预测值（模型1）模型2的预测值（模型2）7639.11811.963647.47118.3164739.11811.963647.47118.3169795.07922.0556104.6824.360210795.07922.0556104.6824.3602123137.1922.2888138.3219.579139137.1922.2888138.3219.579159176.417.2644161.9425.0974152176.417.2644161.9425.0974191191.7722.8681180.7121.7743201191.7722.8681180.7121.7743207192.0923.4183208.7433.0983200192.0923.4183208.7433.0983从上表可以看出，模型二的预测区间长度普遍比模型一的长，尤其在接近最终反应速度时，预测区间长度有明显增大的趋势，增加了模型的置信度。令做出两模型的残差图进行比较分析，如下：从残差图可看出，模型一中有两组数据不包含零点，模型二中有三组数据不包含零点，但模型二中的数据整体更加贴近零点。且结果显示模型二的剩余标准差以及残差平方和均明显小于模型一，因此认为模型二相比模型一有所改进。六、模型的评价与推广6.1 模型的评价考虑到题目中给出的实验数据较少，在建模时，我们使用单一变量建立了通俗易懂的指数函数模型，使预测更加简便明了。通过运用专业的数学软件MATLAB软件解决问题，制作了可信度高。且在解决第二问时，为了使理论讨论更符合实际，使建立的数学模型更具有客观性，更为实用，我们是对第一问的模型进行了优化，求解然后比较，得出了客观科学的结论，最终解决了问题。全文的计算简单易懂，便于理解，模型计算不复杂，只利用题设条件就能够解决问题，只是在初值确定上有一定不确定性，需要根据模型进行估计。6.2 模型的推广本模型为如何求得反应速度和底物浓度之间的关系这一问题提供了一种较为简易的处理方法。可以定性的用此方法分析和预测某一反应速度的实际问题。如酿酒厂、酿醋厂同样可以使用这类模型解决反应速度问题，以便于更好地控制生产量。6.3 模型的改进 由于本模型是在题设的情况下进行分析，给出的实验数据较少，为模型的拟合带来较大的不确定性，现实生活中可以多采集几组数据，在进行拟合，可是模型更加准确。 七、参考文献1 姜启源等, 数学模型（第三版），高等教育出版社，2003年8月八、附录8.1 附录清单 1.模型一的nlinfit程序 2.模型一的cftool程序 3.模型二的nlinfit程序 4.模型二的cftool程序8.2 附录正文1.huaxue = (beta,x)(beta(1)*(1-exp(-beta(2)*x);y=76 47 97 107 123 139 159 152 191 201 207 200;x=0.02 0.02 0.06 0.06 0.11 0.11 0.22 0.22 0.56 0.56 1.10 1.10;Beta0=212.6818 0.06412;beta,r,J=nlinfit(x,y,huaxue,Beta0);betaci=nlparci(beta,r,J);beta,betaciyy=beta(1)*(1-exp(-beta(2)*x);plot(x,y,o,x,yy,+)nlintool(x,y,huaxue,beta)beta = 192.0949 11.3852betaci = 173.8775 210.31247.7571 15.01332.y=76 47 97 107 123 139 159 152 191 201 207 200;x=0.02 0.02 0.06 0.06 0.11 0.11 0.22 0.22 0.56 0.56 1.10 1.10;cftool(x,y);General model: f(x) = a*(1-exp(-b)*x)Coefficients (with 95% confidence bounds): a = 192.1 (173.9, 210.3)