八年级上册期中知识点第一章 轴对称图形1.1轴对称与轴对称图形1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另外一个图形重合，称这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。（对称轴是直线，所在的直线等）2.轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合。3.二者的区别和联系轴对称是2个分开图形（整体叫做轴对称图形），轴对称图形是1个图形（看成对称轴左右两个图形）。4.正多边形：1.有几条边就有几条对称轴。（偶数边的正多边形既是轴对称又是中心对称图形）2.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。1.2轴对称的性质1.垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线。（高线，中线，角平分线都是线段）2.成轴对称的两个图形全等，且其中一个图形沿某条直线翻折后能与另一个图形重合。如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。1.4线段、角的轴对称 线段的轴对称性：1.线段是轴对称图形，对称轴是线段垂直平分线所在的直线；2.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；3.到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合角的轴对称性：1.角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。2.角平分线上的点到角的两边距离相等。3.到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合lABM1.5等腰三角形的轴对称 1.等腰三角形定义：有两边相等的三角形为等腰三角形性质：1.等腰三角形为轴对称图形，对称轴为顶角平分线所在的直线2.两个底角相等（等边对等角）3.三线合一 顶角平分线，底边中线，底边的高判定：1.如果一个三角形两角相等那么两角所对的边也相等2.两边相等的三角形是等腰三角形2.等边三角形性质和判定：性质：1.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴2.三个边相等3.每个角都是60度判定：1.三个边相等的三角形是等边三角形2.三个角都相等的三角形3.有一个角等于60度的等腰三角形1.6等腰梯形的轴对称 等腰梯形的定义：1.梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形为梯形。梯形中，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰。ADCB2.等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形的性质：1.等腰梯形是轴对称图形，对称轴是两底中点的连线所在的直线。2.等腰梯形同一底上两底角相等。3.等腰梯形的对角线相等。等腰梯形的判定：1.在同一底上的2个底角相等的梯形是等腰梯形。补充：对角线相等的梯形是等腰梯形。第二章 勾股定理与平方根2.1勾股定理1.勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即2勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。2.2神秘的数组勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数。2.3平方根1.平方根 1.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 注意的双重非负性： 02.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。表示方法：记作“”，读作根号a。性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2.4平方根立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。表示方法：记作性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。2.5实数1.实数的概念及分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数1）实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数2） 3）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应。2.无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001等； 3.实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数是一对数（零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=b，反之亦成立。2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0。3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。5、估算4.实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数，（3）求商比较法：设a、b是两正实数，（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。（5）平方法：设a、b是两负实数，则。5.实数的运算 （1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方（2）实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。（3）运算律加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 2.6近似数与有效数字近似数：（测量结果都是包含误差的近似数）有效数字：对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末尾数字止，所有数字称为这个近似数的有效数字。注：当保留n位有效数字，若第n+1位数字4就舍掉，若第n+1位数字5时，则第n位数字进1。科学记数法一般地，一个大于10的数可以表示成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。第三章 中心对称图形（一）3.1图形的旋转1.旋转定义在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。性质旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。3.2.中心对称与中心对称图形 1.中心对称 ： 定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。2.中心对称图形：把一个平面图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。3.3平行四边形1.四边形的相关概念 1、四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。2、四边形具有不稳定性3、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360。四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360。推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180； 多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360。2.平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形性质：1. 两组对边分别相等 2.两组对角分别相等 3.对角线互相平分判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3.对角线互相平分的四边形是平行四边形4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。4.平行四边形的面积S平行四边形=底边长高=ah3.4矩形 、菱形、正方形1.矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形性质：1.对角线相等（对角线把矩形分为四个等腰三角形） 2.四个角都是直角 判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形 2.三个角都是直角的四边形是矩形 3.对角线相等的平行四边形是矩形形矩形的面积S矩形=长宽=ab2. 菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形性质：1.四条边都相等 2.对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角（对角线把菱形分为四个全等的直角三角形）面积公式S=1/2ab判定：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形3.四条边都相等的四边形是菱形面积：S菱形=底边长高=两条对角线乘积的一半3.正方形：定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形性质：1.四边相等，邻边垂直，对边平行 2.四个角都是直角 3.两对角线相等，互相垂直平分， 每条对角线平分一组对角判定：1.一组邻边相等的矩形是正方形 2.一个角是直角的菱形是正方形3.对角线互相垂直的矩形是正方形 4.对角线相等的菱形是正方形（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角面积：设正方形边长为a，对角线长为bS正方形=3.5三角形、梯形的中位线1.三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半2.梯形的中位线定义：连接梯形两腰中点的线段性质：梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半