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.初中数学线段最值问题解法分类XX:_指导:_日期:_一、定点到定点连线段点P在直线l上,AP+BP何时最小.二、定点到定线作垂线点P在直线l上,AP何时最小.三、定点到定圆连心线点P在圆O上,AP何时最小.线段最值问题一般转化为上述三个问题.例题赏析:1.如图,AOB=30,点M、N分别是射线OA、OB上的动点,OP平分AOB,且OP=6,当PMN的周长最小值为 思路:把点P分别沿OA、OB翻折得P1、P2,周长即为P1M+MN+P2N,转化为求P1、P2两点之间最小值,得PMN最小值为P1P2OP6.2.如图,在锐角ABC中,AB=4,BAC=45,BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是 思路:点N沿AD翻折至AC上,BM+MNBM+MN,转化为求点B到直线AC的连线最小值,即BNAC时,最小值为22.3.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,以A为圆心、1为半径画圆,E是A上一动点,F是BC上的一动点,则FE+FD的最小值是 思路:点D沿BC翻折至D,DF+EFDF+EF,转化为求点D到圆A上各点的最小距离,易求DE4.4.抛物线y=3/5x2-18/5x+3与直线y=3/5x+3相交于A、B两点,点M是线段AB上的动点,直线PMy轴,交抛物线于点N在点M运动过程中,求出MN的最大值.思路:设M(m,3/5m2-18/5m+3),N(m,3/5m+3),用函数关系式表示MN=(3/5m+3)-(3/5m2-18/5m+3)=21/5m-3/5m2,求得最大值即可.5.在菱形ABCD中,对角线AC=8,BD=6,点E、F分别是边 AB、BC的中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE+PF 的最小值,则这个最小值是 . 思路:点E沿AC翻折,转化为点到点的距离.(将军饮马问题实质就是通过翻折转化为定点到定点的问题)6.如图,MON=90,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为 . 思路:取AB中点E,连接DE、OE,由两点间线段最短,得ODOE+DE,最大为1+2.7.如图,在ABC中,ACB=90,AB=5,BC=3,P是AB边上的动点(不与点B重合),将BCP沿CP所在的直线翻折,得到BCP,连接BA,则BA长度的最小值是 简解:B点运动路径为以C为圆心,BC为半径的圆弧,转化为点到圆的最短距离AC-BC=1.8.如图,正方形ABCD的边长为1,中心为点O,有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转,在旋转过程中,这个正六边形始终在正方形ABCD内(包括正方形的边),当这个六边形的边长最大时,AE的最小值为 .思路:正六边形最大半径为1/2,与正方形中心重合,E点运动路径为圆,转化为求点到圆的最短距离,如下图.9.在O中,圆的半径为6,B=30,AC是O的切线,则CD的最小值是 .思路:D是定点,C是直线AC上的动点,转化为求点到线的最短距离.10.在ABC中,AB=AC=5,cosABC=3/5,将ABC绕点C顺时针旋转,得到ABC,点E是BC上的中点,点F为线段AB上的动点,在ABC绕点C顺时针旋转过程中,点F的对应点是F,求线段EF长度的最大值与最小值的差.思路:先确定线段AB的运动轨迹是圆环,外圆半径为BC,内圆半径为AB边上的高,F是AB上任意一点,因此F的运动轨迹是圆环内的任意一点,由此转化为点E到圆环的最短和最长距离.E到圆环的最短距离为EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8,E到圆环的最长距离为EF1=EC+CF1=3+6=9,其差为7.2.问:何时需要作辅助线翻折其中的定点(定线或定圆).答:当动点所在直线不在定点(定线或定圆)之间时,需把定点(定线或定圆)沿动点所在直线翻折以使定点(定线或定圆)处于动点所在直线的两侧,从而便于连接相关线段或作垂线与动点所在直线找到交点.如上述例3,动点F所在直线不在定圆A和定点D之间,因而需把D点沿BC翻折至D,即可转化为定点D到定圆A的最短距离,另外亦可把圆A沿BC翻折至另一侧,同样可以转化为定点D到定圆A的最短距离,如下图.关键方法:动中求定,动点化定线;以定制动,定点翻两边.(1)动中求定,动点化定线:如例7、例8、例10,动点所在路径未画出时需先画出动点所在轨迹,一般动点所在轨迹为线或圆.(2)以定制动,定点翻两边:如例1、例2、例3、例5,定点(线或圆)在动点所在直线同侧时需翻折至两侧,转化为上述三种关系. v
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