三、解答题1设对于事件、有，求、至少出现一个的概率。解：由于从而由性质4知，又由概率定义知，所以 ，从而由概率的加法公式得 2设有10件产品，其中有3件次品,从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少？ 解：设表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品”。则。5件产品中恰有2件次品的取法共有种，即。于是所求概率为 / 3一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。求：（1）第二次取出的是次品的概率；（2）两次都取到正品的概率； （3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。解：设表示：“第次取出的是正品”（=1，2），则 （1）第二次取到次品的概率为 （2）两次都取到正品的概率为 （3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为 4一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：（1）至少取到一个正品的概率；（2）第二次取到次品的概率；（3）恰有一次取到次品的概率。解：设表示：“第次取出的是正品”（=1，2），则（1）至少取到一个正品的概率 （2）第二次取到次品的概率为 （3）恰有一次取到次品的概率为 5一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：（1）两件都是正品的概率； （2）恰有一件次品的概率；（3）至少取到一件次品的概率。解：设表示：“取出的两件都是正品是正品”；表示：“取出的两件恰有一件次品”； 表示：“取出的两件至少取到一件次品”；则（1）两件都是正品的概率 （2）恰有一件次品的概率 （3）至少取到一件次品的概率 6一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是0.6，乙机床和丙机床需要照看的概率分别是0.5和0.8。求在一小时中，（1）没有一台机床需要照看的概率； （2）至少有一台机床不需要照看的概率。解：设表示：“没有一台机床需要照看”；表示：“至少有一台机床不需要照看“；表示：“第台机床需要照看”（=1，2，3）。则；。 7在某城市中发行三种报纸、，经调查，订阅报的有50%，订阅报的有30%，订阅报的有20%，同时订阅及报的有10%，同时订阅及报的有8%，同时订阅及报的有5%，同时订阅、报的有3%，试求下列事件的概率： （1）只订阅及报；（2）恰好订阅两种报纸。 解：（1） （2） 8一盒子中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%，从中任取一球，结果不是红球，求：（1）取到的是白球的概率；（2）取到的是黑球的概率。解：设分别表示：“取到的是黑球、红球、白球”（=1，2，3），则问题（1）化为求；问题（2）化为求。由题意两两互不相容，所以，（1）。因此由条件概率公式得 （2） 9已知工厂生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：（1） 该产品是次品的概率；（2） 若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率 。解：设表示“取到的产品是次品”；“取到的产品是工厂的”；“取到的产品是工厂的”。则 （1） 取到的产品是次品的概率为 （2）若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率为 10有两个口袋，甲袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。解：设表示：“由甲袋取出的球是白球”； 表示：“由甲袋取出的球是黑球”； 表示：“从乙袋取出的球是白球”。则 11设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。 解：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的”（）。 则，且，两两互不相容，（1） 由全概率公式得 （2）由贝叶斯公式得 = 12三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件表示：“取到的产品是不合格品”；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的”（）。 则，且，两两互不相容，由全概率公式得 （1） （2）由贝叶斯公式得 = 13有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：( 1 ) 此人来迟的概率； ( 2 ) 若已知来迟了，此人乘火车来的概率。 解：设事件表示：“此人来迟了”；事件分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机来”（，4）。则，且，两两互不相容 （1）由全概率公式得 （2）由贝叶斯公式得= 14有两箱同类零件，第一箱50只，其中一等品10只，第二箱30只，其中一等品18只，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只（有放回），试求：（1）第一次取到的是一等品的概率；（2）两次都取到一等品的概率。 解：设表示：“取到第箱零件”；表示：“第次取到的是一等品”；则 （1） （2） 15设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。 解：设表示：“第个电子元件被损坏”（=1，2，3），则有；。依题意所求概率为 16甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，求下列事件的概率：( 1 ) 敌机被击中；（2）甲击中乙击不中；（3）乙击中甲击不中。解：设事件表示：“甲击中敌机”；事件表示：“乙击中敌机”；事件表示：“敌机被击中”。则 （1） （2） （3） 17已知，求。 解：由于 所以 18设，求。解：由于 ， ，而 ， ， 故 。 19设事件、相互独立，已知，。求：（1）； （2） 。解：由即 解得 所以 20设、为随机事件，且，求：（1）；（2） 。解：（1）（2） 21设事件、相互独立，已知，求： （1）； （2）。解：由条件 即 解得，所以（1）（2） 22设事件相互独立，试证明： （1）事件相互独立； （2）事件相互独立； （3）事件相互独立。 证明：（1）欲证明相互独立，只需证即可。而 所以事件相互独立。同理 （2）由于 所以事件相互独立。 （3）由于 所以事件相互独立。 23 若，证明事件相互独立。 证明：由于，且，所以 从而有 故由独立性定义知，事件相互独立。第二章 随机变量及其分布三、解答题1设的概率分布为 0 1 2 1/3 1/6 1/2 求：（1）的分布函数； （2）、。 解：（1） ； ； 。 2从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都相等。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。解：由题意知服从二项分布，从而 ； ； ； 即的概率分布列为 0 1 2 3 1/8 3/8 3/8 1/8 由分布函数定义 3从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都是2/5。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。