双曲线单元复习测试一 、选择题（09年高考全国卷二）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为AB C D 【答案解析】A解：设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,由双曲线的第二定义有.又 故选A（09年高考江西卷）设F1和F2为双曲线的两个焦点, 若F1,F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 AB2CD3【答案解析】B【解析】由有,则,故选B.（2008年高考数学试题全国卷2（理）全解全析）设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案解析】【答案】B【解析】，因为是减函数，所以当时 ，所以，即【高考考点】解析几何与函数的交汇点（2008年高考数学试题全国卷2（文）全解全析）设是等腰三角形，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（ ）AB C D【答案解析】【答案】B【解析】由题意,所以，由双曲线的定义，有，【高考考点】双曲线的有关性质，双曲线第一定义的应用（08年高考陕西卷）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为ABCD【答案解析】B（2008年高考数学海南、宁夏文数全解全析）双曲线的焦距为（ ）A 3B 4C 3D 4【答案解析】【标准答案】 【试题解析】由双曲线方程得，于是，选【高考考点】双曲线的标准方程及几何性质【易错提醒】将双曲线中三个量的关系与椭圆混淆，而错选【全品备考提示】在新课标中双曲线的要求已经降低，考查也是一些基础知识，不要盲目拔高（08年高考四川卷）已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于ABCD【答案解析】C双曲线中 作边上的高，则 的面积为 故选C【解2】：双曲线中 设， 则由得又为的右支上一点 即解得或（舍去）的面积为 故选B【点评】：此题重点考察双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；【突破】：由题意准确画出图象，解法1利用数形结合，注意到三角形的特殊性；解法2利用待定系数法求点坐标，有较大的运算量；（08年高考浙江卷）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是A3B5CD【答案解析】D（09年高考山东卷）设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 A B 5C D【答案解析】D【解析】:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以=,所以,故选D. 答案:D.（2008年高考数学福建文数全解全析）若双曲线的离心率为2，则等于A 2B C. D 1【答案解析】解析解析 由，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.（09年高考湖北卷）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是AKBK C.KD 【答案解析】A【解析】易得准线方程是 所以 即所以方程是联立可得由可解得A（08年高考重庆卷）已知双曲线（a0,b0）的一条渐近线为y=kx(k0),离心率e=,则双曲线方程为A=1B C.D【答案解析】C二 、填空题（2010年高考试题（江西卷）解析版（文）点在双曲线的右支上，若点到右焦点的距离等于，则 ；【答案解析】【答案】2 【解析】考查双曲线的比值定义，利用点A到右焦点比上到右准线的距离等于离心率得出2（09年高考湖南卷）过双曲线C：的一个焦点作圆x2+y2=的两条切线，切点分别为A，B，若AOB=120（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为 【答案解析】, （2010年高考试题（北京卷）解析版（理）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为，又双曲线离心率为2，即，故，渐近线为【答案解析】，（08年高考山东卷）已知圆.以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .【答案解析】 三 、解答题（2008高考试题（全国卷1）文科全解析）（注意：在试题卷上作答无效）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点.已知|、|、|成等差数列，且与同向.（）求双曲线的离心率；（）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程. 【答案解析】 （2010年高考试题（全国卷2）解析版（理） 己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为 （）求C的离心率； （）设C的右顶点为A，右焦点为F，证明：过AB、D三点的圆与x轴相切【答案解析】【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力.【参考答案】 （I）由题设知，的方程为代入C的方程，并化简得，设则由为B D的中点知故即 故所以C的离心率 （II）由、知，C的方程为：A（a，0），F（2a，0），故不妨设 又故解得（舍去）故连结MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而MA=MB=MD，且MAx轴，因此以M为圆主，MA为半径的圆经地AB、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过AB、D三点的圆与x轴相切。 【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.（2008年高考数学重庆文数全解全析）（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分.） 如题（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足： （）求点P的轨迹方程;（）设d为点P到直线l： 的距离，若,求的值.【答案解析】【解析】本小题主要考查双曲线的第一定义、第二定义及转化与化归的数学思想，同时考查了学生的运算能力。【答案】（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=,所以双曲线的方程为(II)解法一：由（I）及答（21）图，易知|PN|1,因|PM|=2|PN|2, 知|PM|PN|,故P为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2. 将代入，得2|PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|=,所以|PN|=.因为双曲线的离心率e=2,直线l:x=是双曲线的右准线，故=e=2,所以d=|PN|,因此解法二：设P（x,y），因|PN|1知|PM|=2|PN|22|PN|PN|,故P在双曲线右支上，所以x1.由双曲线方程有y2=3x2-3.因此从而由|PM|=2|PN|2得2x+1=2(4x2-4x+1)，即8x2-10x+1=0.所以x=(舍去).有|PM|=2x+1=d=x-=.故（09年高考江西卷）已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于.求线段的中点的轨迹的方程;设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点.【答案解析】(1) 由已知得,则直线的方程为:,令得,即,设,则,即代入得:,即的轨迹的方程为. (2) 在中令得,则不妨设,于是直线的方程为:,直线的方程为:,则,则以为直径的圆的方程为: ,令得:,而在上,则,于是,即以为直径的圆过两定点.（09年高考重庆卷）(文）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率.(1)求该双曲线的方程；(2)如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标； 【答案解析】 (1)由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，由得 解得 从而，该双曲线的方程为；(2)设点D的坐标为，则点AD为双曲线的焦点，所以 ，是圆上的点，其圆心为，半径为1，故 从而当在线段CD上时取等号，此时的最小值为直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故由方程组 解得 所以点的坐标为；（2008年高考数学天津理数全解全析）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.（）求双曲线C的方程；（）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.【答案解析】本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力满分14分（）解：设双曲线的方程为（）由题设得，解得，所以双曲线方程为（）解：设直线的方程为（）点，的坐标满足方程组将式代入式，得，整理得此方程有两个一等实根，于是，且整理得由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，从而线段的垂直平分线方程为此直线与轴，轴的交点坐标分别为，由题设可得整理得，将上式代入式得，整理得，解得或所以的取值范围是