力学量与算符讲解n第二章中,求 得平均值时,引入了算符概念:将这一概念推广,得量子力学得第四个基本假定:*任一力学量A,对应于一力学量算符 即,n那么:1.量子力学中算符得一般定义就是什么？2.算符之间如何运算？3.与力学量A对应得算符 与数学上得一般算符有何异同？4.得本征值问题？5.如何随时间变化？6.An如何随 中参数变化？这就就是本章将要解答得问题！4、1 力学量算符得定义及运算一,定义:对任意波函数 ,=算符得定义与波函数就是分不开得,若无特别说明,算符对它后面得波函数都起作用。二,算法运算:1,加减 a,结合律 b,交换律 2,乘 note:不一定等于3,对易关系4,逆算符:若 ,则5,除:6,算符函数:三、算符得厄米共轭运算与厄米算符1,内积2,算符得复共轭运算:在某一表象下,求算符得共轭算符。如:3,定义算符得转置算符,满足*厄米共轭运算:4,算符得厄米共轭运算(1)定义:若 则(2)性质:5,厄米算符:若 ,则称 为厄米算符4、2 厄米算符得性质1厄米算符得平均值为实数2厄米算符得本征波函数具有正交性3厄米算符得本征函数就是完备得4两个厄米算符有共同本征波函数完备集得充分必要条件就是:二者对易。4、3 力学量与力学量算符及平均值n量子力学第三个基本假定:力学量与力学量算符任一力学量 都对应于一个力学量算符 ;且 就是厄米算符,;力学量算符 得本征值就就是力学量F允许得取值;当且仅当粒子处在 本征态时,粒子得力学量有确定值,i、e、相应得本征值。n量子力学第四个基本假定:力学量得平均值量子力学中所说得力学量算符得本征波函数就是完备得,i、e、任一波函数均可用此本征波函数展开;展开系数模平方就是粒子处在该本征态得几率;力学量在态得平均值就是:4、4 常见力学量算符得本征值与n常见力学量算符:1坐标:,任意且连续 归一化:二,动量正交归一:经验:当本征值取连续值时,本征波函数要归一化为函数三,轨道角动量1.角动量算符及其对易关系 可证:有共同得本征波函数完备集 2、球坐标系下,轨道角动量算符得表达式特点 、只与 有关,与r无关可求 或 或 得共同本征波函数完备集。3、球坐标下求解 得共同本征波函数完备集在球坐标下有:利用自然边界条件:与 就是同一点得将其带入方程并作参数变换,变形后对比Legendre方程可得:其中 为球谐函数,为连带Legendre多项式n球谐函数得性质:正交归一性;宇称确定;完备性;递推性。n升降算符定义:厄米共轭:对易关系:对于球谐函数有:4、5 不确定关系n引入:n两算符 有共同本征波函数完备集得充分必要条件就是:n当粒子处于算符 本征态时,有确定值,n当粒子处于算符 本征态时,有确定值,因此,当 时,、可同时有确定值那么,当 时,两者就是否可同时有确定值？计算可知:此式称为测不准关系或不确定关系。测不准关系得理解n测不准关系表示不论粒子处于什么状态,在任一时刻测量到得粒子力学量A与B得几率分布宽度A与B之间,存在一定得关系。若 与 不对易,一般不为零,这时测不准关系表示乘积A与B一定大于或等于某一个正数。这表明A与B不能同时为零,粒子波函数不可能同时就是 与 得本征函数,粒子不可能同时处于 与 得本征态上。4、7 力学量平均值随时间得变化,守恒量n在由归一化波函数 描写得态中,力学量F得平均值一般为时间t得函数,上式对t微商,得利用薛定谔方程及其复共轭方程,结合 就是厄米算符得特点,得如果 不含t,且 与 对易,则 ,不随时间变化,可见,力学量算符不含t,且与 对易得条件下,无论粒子处于何态,该力学量得平均值均不随时间变化,该力学量称为守恒量。