2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 （2013年高考江西卷（理）过点引直线与曲线相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线的斜率等于（）ABCD【答案】B 2 （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）ABCD【答案】C 3 （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是（）ABCD【答案】B 4 （2013年高考新课标1（理）已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为（）ABCD【答案】C 5 （2013年高考湖北卷（理）已知,则双曲线与的（）A实轴长相等B虚轴长相等C焦距相等D离心率相等【答案】D 6 （2013年高考四川卷（理）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）ABCD【答案】B 7 （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是,在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率是OxyABF1F2（第9题图）（）ABCD【答案】D 8 （2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, AOB的面积为, 则p =（）A1BC2D3【答案】C 9 （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是（）ABCD【答案】B 10（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）已知抛物线与点,过的焦点且斜率为的直线与交于两点,若,则（）ABCD【答案】D 11（2013年高考北京卷（理）若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为（）Ay=2xBy=CD【答案】B 12（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）已知抛物线:的焦点与双曲线:的右焦点的连线交于第一象限的点.若在点处的切线平行于的一条渐近线,则（）ABCD【答案】D 13（2013年高考新课标1（理）已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（）ABCD【答案】D 14（2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）设抛物线的焦点为,点在上,若以为直径的圆过点,则的方程为（）A或B或 C或D或 【答案】C 15（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是（）A圆B椭圆C抛物线D双曲线【答案】C 16（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（）ABCD 【答案】A 二、填空题17（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）双曲线的两条渐近线的方程为_.【答案】 18（2013年高考江西卷（理）抛物线的焦点为F,其准线与双曲线相交于两点,若为等边三角形,则_【答案】6 19（2013年高考湖南卷（理）设是双曲线的两个焦点,P是C上一点,若且的最小内角为,则C的离心率为_.【答案】 20（2013年高考上海卷（理）设AB是椭圆的长轴,点C在上,且,若AB=4,则的两个焦点之间的距离为_【答案】. 21（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版）已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点,使得为直角,则的取值范围为_ _.【答案】 22（ 2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部与边界).若点是区域内的任意一点,则的取值范围是_.【答案】 23（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为,若,则椭圆的离心率为_.【答案】 24（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）椭圆的左.右焦点分别为,焦距为2c,若直线与椭圆的一个交点M满足,则该椭圆的离心率等于_【答案】 25（2013年高考陕西卷（理）双曲线的离心率为, 则m等于_9_.【答案】9 26（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点,连接,若,则的离心率_.【答案】 27（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）抛物线的准线方程是_【答案】 28（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）在平面直角坐标系中,设定点,是函数()图象上一动点,若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为_.【答案】或 29（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）设为抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于两点,点为线段的中点,若,则直线的斜率等于_.【答案】 三、解答题30（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为(1)若为等边三角形,求椭圆的方程;(2)若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.解(1)(2)【答案】解(1)设椭圆的方程为. 根据题意知, 解得, 故椭圆的方程为. (2)容易求得椭圆的方程为. 当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为. 由 得. 设,则 因为,所以,即 , 解得,即. 故直线的方程为或. 31（2013年高考四川卷（理）已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点.()求椭圆的离心率;()设过点的直线与椭圆交于、两点,点是线段上的点,且,求点的轨迹方程.【答案】解: 所以,. 又由已知,所以椭圆C的离心率 由知椭圆C的方程为. 设点Q的坐标为(x,y). (1)当直线与轴垂直时,直线与椭圆交于两点,此时点坐标为 (2) 当直线与轴不垂直时,设直线的方程为. 因为在直线上,可设点的坐标分别为,则 . 又 由,得 ,即 将代入中,得 由得. 由可知 代入中并化简,得 因为点在直线上,所以,代入中并化简,得. 由及,可知,即. 又满足,故. 由题意,在椭圆内部,所以, 又由有 且,则. 所以点的轨迹方程是,其中, 32（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.()求椭圆的方程; ()点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交 的长轴于点,求的取值范围;()在()的条件下,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,若,试证明为定值,并求出这个定值. 【答案】解:()由于,将代入椭圆方程得 由题意知,即 又 所以, 所以椭圆方程为 ()由题意可知:=,=,设其中,将向量坐标代入并化简得:m(,因为, 所以,而,所以 (3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为: ,所以,而,代入中得 为定值. 33（2013年高考上海卷（理）(3分+5分+8分)如图,已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“C1C2型点”.(1)在正确证明的左焦点是“C1C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“C1C2型点”;(3)求证:圆内的点都不是“C1C2型点”.【答案】:(1)C1的左焦点为,过F的直线与C1交于,与C2交于,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为; (2)直线与C2有交点,则 ,若方程组有解,则必须; 直线与C2有交点,则 ,若方程组有解,则必须 故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”. (3)显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点,则斜率必存在; 根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点,则 直线与圆内部有交点,故 化简得,. 若直线与曲线C1有交点,则 化简得,. 由得, 但此时,因为,即式不成立; 当时,式也不成立 综上,直线若与圆内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点, 即圆内的点都不是“C1-C2型点” . 34（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为.分别将线段和十等分,分点分别记为和,连结,过做轴的垂线与交于点.(1)求证:点都在同一条抛物线上,并求该抛物线的方程;(2)过点做直线与抛物线交于不同的两点,若与的面积比为,求直线的方程.【答案】解:()依题意,过且与x轴垂直的直线方程为 ,直线的方程为 设坐标为,由得:,即, 都在同一条抛物线上,且抛物线方程为 ()依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为 由得 此时,直线与抛物线恒有两个不同的交点 设:,则 又, 分别带入,解得 直线的方程为,即或 35（2013年高考湖南卷（理）过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线,且,相交于点A,B,相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为.(I)若,证明;(II)若点M到直线的距离的最小值为,求抛物线E的方程.【答案】解: () . 所以,成立. (证毕)