精品文档教学 内 容二次函数与幕函数基础知识自主学习要点按理1. 二次函数的定义与解析式(1) 二次函数的定义形如：f(x) = ax2+ bx + c_(a丰0)的函数叫作二次函数.(2) 二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x) = ax2 + bx + c_(a 丰 0). 顶点式：f(x)= a(x- m)2+ n(a丰 0). 零点式：f(x) = a(x x“(x xg) (a 丰 0).2. 二次函数的图像和性质解析式2f(x)= ax + bx+ c(a0)2f(x) = ax + bx+ c(a0)/I ; Z|1 J I图像J /HKp1A = V定义域(8,+)( 8,+8 )Nac b2I(4ac b2_i值域+ 8 1_ 4a ，十丿l-8，4a在x 18,孑上单调递减；在x f8,严上单调递增；单调性2a*u.2a . 、在x 2a，+8上单调递增在x 2a，+8 /止单调递减奇偶性当b=0时为偶函数，bz 0时为非奇非偶函数顶点(-亠，4ac b21V 2a，4a丿对称性图像关于直线x=-舟成轴对称图形3. 幕函数形如y= xa (a R)的函数称为幕函数，其中X是自变量，a是常数.4. 幕函数的图像及性质(1) 幕函数的图像比较幕函数的性质比较y = x2y= x3y= x1y = x21y= x定义域RRR0, +m)x|x R 且xm 0值域R0，+m )R0，+m)y|y R 且奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x 0,+s )增增x (0,+ )时，增；x (m, 0时，减时，减;x (g, 0)时，减难点正本疑点清源1 .二次函数的三种形式(1) 已知三个点的坐标时，宜用一般式.(2) 已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.(3) 已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.2.幕函数的图像(1)在(0,1)上，幕函数中指数 越大，函数图像越靠近 x轴，在(1,+)上幕函数中指数越大，函数图像越远 离X轴.函数y= x, y= x2, y= x3, y = x；, y= x 1可作为研究和学习幕函数图像和性质的代表.基础自测1. 已知函数f(x)= x2 + 2(a 1)x+ 2在区间(m, 3上是减函数，则实数 a的取值范围为2解析 f(x)的图像的对称轴为 x= 1 - a且开口向上,-1 a3，即 a w 2.2. (课本改编题)已知函数y= x2 2x+ 3在闭区间0, m上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为 答案1,2 解析 y= x2 2x+ 3的对称轴为x= 1.当m2 时，ymax= f(m) = m2 2m + 3= 3,m的值为 m= 0, m= 2,无解. 1 w mW 2.若幕函数y= (m2 3m+ 3)xm2 m 2的图像不经过原点，则实数答案1或2解析m2 3m+ 3= 1m2- m 2w 0，解得 m= 1 或 2.经检验m= 1或2都适合.次(人教A版教材例题改编)如图中曲线是幕函数 y= xn在第一象限的图像.已知n取戈,苛四个值，则相应于曲线C1, C2, C3, C4的n值依1 1答案 2, 2， 2， 2解析 可以根据函数图像是否过原点判断n的符号，然后根据函数凸凹性确定n的值.函数f(x) = x2 + mx+ 1的图像关于直线x= 1对称的充要条件是A.m= 2D. m= 1C. m= 1答案 A解析 函数f(x)= x2+ mx+ 1的图像的对称轴为 x= m，且只有一条对称轴，所以22 =1，即m= 2.题型分类深度剖析题型一求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(2) = 1 , f( 1) = 1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数. 思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用.解 方法一 设 f(x) = ax2 + bx+ c (a 0),依题意有4a+ 2b+ c= 1,a b+ c= 1,24ac b c=8,4aa = 4,解之，得b= 4,c= 7,所求二次函数解析式为f(x)= 4x2 + 4x+ 7.方法二 设 f(x)= a(x m)2 + n, a丰 0. v f(2) = f( 1),-抛物线对称轴为x=2= 2.二m=2又根据题意函数有最大值为n = 8, y= f(x)= a x 2j+ 8.v f(2) = 1, a 2 2 2 + 8 = 1,解之，得 a= 4. f(x) = 4 x守 + 8= 4x2 + 4x+ 7.方法三依题意知，f(x) + 1 = 0的两根为対=2, X2= 1,故可设 f(x) + 1 = a(x 2)(x+1), a丰 0. 即 f(x) = ax2 ax 2a 1.2又函数有最大值ymax = 8，即阿二旦二1= 8 ,4a解之，得a= 4或a= 0(舍去).函数解析式为f(x) = 4x2 + 4x + 7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式;和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果.变止川曦1已知二次函数f(x )同时满足条件：(1) f(1 + x) = f(1 x);(2) f(x)的最大值为15;(3) f(x) = 0的两根平方和等于17.求f(x)的解析式.解 依条件，设 f(x) = a(x 1)2+ 15 (a0), 即 f(x) = ax2 2ax+ a+ 15.令 f(x) = 0,即卩 ax2 2ax+ a + 15= 0,x1X2 =x2 + x2=(X1 + X2)2 2X1X2=42 1+15 = 2-30= 17 aa a = 2, - f(x) = 2x2+ 4x+ 13.题型二二次函数的图像与性质【例 2】 已知函数 f(x)= x2 + 2ax+ 3, x 4,6.(1)当a =-2时，求f(x)的最值；求实数a的取值范围，使 y= f(x)在区间4,6上是单调函数；当a = 1时，求f(|x|)的单调区间.思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用.解(1)当 a= 2 时，f(x)= x2 4x+ 3= (x 2)2 1，由于 x 4,6, f(x)在 4,2上单调递减，在2,6上单调递增， f(x)的最小值是 f(2) = 1，又 f( 4) = 35 , f(6) = 15,故 f(x)的最大值是 35.由于函 数f(x)的图像开口向上，对称轴是x= a,所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有一a 6,即卩 a 4.2(3) 当 a = 1 时，f(x) = x + 2x+ 3, f(|x|) = x2 + 2|x| + 3,此时定义域为x 6,6,x2+ 2x+ 3, x(0, 6 且 f(x) = x2-2x+ 3, x 6, 0 f(|x|)的单调递增区间是(0,6, 单调递减区间是一 6,0.探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解.变式训练2若函数f(x) = 2x2 + mx 1在区间1,+ )上递增，则f( 1)的取值范围是 答案(一R, 3解析抛物线开口向上，对称轴为x =-m,又 f( 1) = 1 mW 3, f( 1) (s, 3.题型三二次函数的综合应用【例 3】 若二次函数 f(x) = ax2 + bx+ c (a0)满足 f(x+ 1) f(x)= 2x,且 f(0) = 1.(1)求f(x)的解析式；若在区间1 ,1上，不等式f(x)2x+ m恒成立，求实数 m的取值范围.思维启迪：对于(1)，由f(0) = 1可得c,利用f(x+ 1) f(x)= 2x恒成立，可求出a, b，进而确定f(x)的解析 式.对于(2)，可利用函数思想求得.解 (1)由 f(0) = 1，得 c= 1. f(x)= ax2 + bx+ 1.又 f(x+ 1) f(x) = 2x,2 2 a(x+ 1)2+ b(x+ 1) + 1 (ax2 + bx+ 1)= 2x,2a= 2,a= 1,即 2ax+ a+ b= 2x, ila + b= 0,b= 1.因此，f(x) = x2 x+ 1.(2)f(x)2x+ m 等价于 x2 x+ 12x+ m,艮卩x2 3x+ 1 m0，要使此不等式在 1,1上恒成立，只需使函数 g(x)= x2 3x + 1 m在一 1,1上的最小值大于 0即可.T g(x) = x2 3x+ 1 m 在1,1上单调递减，二 g(x)min = g(1) = m 1，由一m 10 得，m 1.因此满足条件的实数m的取值范围是(一R, 1).探究提高 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图像贯穿为一体.因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图像是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.变丈训练=已知函数f(x) = x2 + mx+ n的图像过点(1,3)，且f( 1 + x)= f( 1 x)对任意实数都成立，函数y= g(x)