2021年中考数学一轮复习第21讲?相似形?【考点解析】知识点一、平行线分线段成比例【例1】2021山东济宁如图，ABCDEF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于【考点】平行线分线段成比例【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可得到结论【解答】解：AG=2，GD=1，AD=3，ABCDEF，=0.6，故答案为：0.6【变式】2021浙江舟2021福建宁德如图，直线abc，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，假设AC=4，CE=6，BD=3，那么DF的值是 A4 B4.5 C5 D5.5【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例即可得【解析】直线abc，AC=4，CE=6，BD=3，即，解得DF=4.5应选B【点评】考查平行线分线段成比例，能够从图中找到对应线段是解题的关键。知识点二、相似三角形及其判定【例2】2021湖北随州如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，以下条件中不能判断ABCAED的是 AAED=B BADE=CC= D=【答案】D【分析】此题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似根据此，分别进行判断即可【解析】由题意得DAE=CAB， A、当AED=B时，ABCAED，故本选项不符合题意；B、当ADE=C时，ABCAED，故本选项不符合题意；C、当=时，ABCAED，故本选项不符合题意；D、当=时，不能推断ABCAED，故本选项符合题意；应选D【点评】此题考查了相似三角形的判定此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用【变式】6.(2021河北3分如图，ABC中，A=78，AB=4，AC=6.将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 C 第15题图答案：解析：只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。项不成比例。知识点：相似三角形知识点三、相似三角形的性质【例3】2021重庆市A卷4分ABC与DEF的相似比为1：4，那么ABC与DEF的周长比为A1：2B1：3C1：4D1：16【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果【解答】解：ABC与DEF的相似比为1：4，ABC与DEF的周长比为1：4；应选：C【点评】此题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键【变式】假设ADEACB，且，DE=10，那么BC= 【答案】15【解析】ADEACB，又，DE=10，BC=15故答案为：152.如图，平行于BC的直线DE把ABC分成的两局部面积相等.那么= .【答案】.【解析】根据相似三角形的判定和性质，可得答案：DEBC，ADEABC.SADE=S四边形BCDE，即.知识点四、相似多边形与位似图形【例4】2021山东东营如图，在平面直角坐标系中，点A3，6、B9，一3，以原点O为位似中心，相似比为，把ABO缩小，那么点A的对应点A的坐标是( ) A1，2 B9，18C9，18或9，18D1，2或1，2【知识点】相似三角形位似图形、位似变换【答案】D.【解析】方法一：ABO和ABO关于原点位似， ABOABO且.AEAD2，OEOD1.A1,2同理可得A1,2.方法二：点A3，6且相似比为，点A的对应点A的坐标是3，6，A1,2.点A和点A1,2关于原点O对称，A1,2.应选择D.【点拨】每对对应点的连线所在的直线都相交于一点的相似图形叫做位似图形位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比相似比；在平面直角坐标系中，如果位似图形是以原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标比等于相似比注意：此题中，ABO以原点O为位似中心的图形有两个，所以此题答案有两解.【变式】2021四川宜宾如图，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，OCD=90，CO=CD假设B1，0，那么点C的坐标为 A1，2 B1，1 C， D2，1【答案】B【分析】利用位似图形的位似比等于相似比，再利用坐标的特征，进而得出答案【解析】OAB=OCD=90，AO=AB，CO=CD，等腰RtOAB与等腰RtOCD是位似图形，点B的坐标为1， 0，BO=1，那么AO=AB=，A，等腰RtOAB与等腰RtOCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点C的坐标为：1，1应选B【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似比等于相似比是解题关键知识点五、相似三角形的应用【例5】2021贵州黔南州如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，ABBD，CDBD，且测得AB=12米，BP=18米，PD=12米，那么该古城墙的高度是 米平面镜的厚度忽略不计【答案】8【分析】根据题意得到RtABPRtCDP，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式，求得答案即可【解析】由题意知：光线AP与光线PC，APB=CPD，RtABPRtCDP，CD=8米故答案为：8【点评】此题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大【变式】如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，那么建筑物的高是 米【答案】52.【解析】根据题意可得出CDGABG，EFHABH，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论：ABBH，CDBH，EFBH，ABCDEF，CDGABG，EFHABH. .CD=DG=EF=2m，DF=50m，FH=4m，. ，解得BD=50. ，解得AB=52米【典例解析】【例题1】11.2021辽宁丹东3分如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分CAD，交BC的延长线于点E，FAAE，交CB延长线于点F，那么EF的长为 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得CAE=E，易得CE=CA，由FAAE，可得FAC=F，易得CF=AC，可得EF的长【解答】解：四边形ABCD为正方形，且边长为3，AC=3，AE平分CAD，CAE=DAE，ADCE，DAE=E，CAE=E，CE=CA=3，FAAE，FAC+CAE=90，F+E=90，FAC=F，CF=AC=3，EF=CF+CE=3=6，故答案为：6【例题2】2021湖北随州如图1，PT与O1相切于点T，PAB与O1相交于A、B两点，可证明PTAPBT，从而有PT2=PAPB请应用以上结论解决以下问题：如图2，PAB、PCD分别与O2相交于A、B、C、D四点，PA=2，PB=7，PC=3，那么CD=【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质【分析】如图2中，过点P作O的切线PT，切点是T，根据PT2=PAPB=PCPD，求出PD即可解决问题【解答】解：如图2中，过点P作O的切线PT，切点是TPT2=PAPB=PCPD，PA=2，PB=7，PC=3，27=3PD，PD=CD=PDPC=3=【例题3】2021四川泸州如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，那么MN的长为A B C D【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质【分析】过F作FHAD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理得到AF=2，根据平行线分线段成比例定理得到OH=AE=，由相似三角形的性质得到=，求得AM=AF=，根据相似三角形的性质得到=，求得AN=AF=，即可得到结论【解答】解：过F作FHAD于H，交ED于O，那么FH=AB=2BF=2FC，BC=AD=3，BF=AH=2，FC=HD=1，AF=2，OHAE，=，OH=AE=，OF=FHOH=2=，AEFO，AMEFMO，=，AM=AF=，ADBF，ANDFNB，=，AN=AF=，MN=ANAM=，应选B【例题4】2021广西南宁如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别是A2，2，B4，0，C4，41请画出ABC向左平移6个单位长度后得到的A1B1C1；2以点O为位似中心，将ABC缩小为原来的，得到A2B2C2，请在y轴右侧画出A2B2C2，并求出A2C2B2的正弦值【考点】作图-位似变换；作图-平移变换【分析】1将A、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的A1B1C1；2连接OA、OC，分别取OA、OB、OC的中点即可画出A2B2C2，求出直线AC与OB的交点，求出ACB的正弦值即可解决问题【解答】解：1请画出ABC向左平移6个单位长度后得到的A1B1C1，如图1所示，2以点O为位似中心，将ABC缩小为原来的，得到A2B2C2，请在y轴右侧画出A2B2C2，如图2所示，A2，2，C4，4，B4，0，直线AC解析式为y=3x+8，与x轴交于点D，0，CBD=90，CD=，sinDCB=A2C2B2=ACB，sinA2C2B2=sinDCB=【点评】此题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解位似变换、平移变换的概念，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型【中考热点】【热点1】15.2021黑龙江龙东如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中