.82 信号的采样和复现的数学描述一、 采样过程所谓理想采样，就是把一个连续信号，按一定的时间间隔逐点地取其瞬时值，从而得到一串脉冲序列信号。可见在采样瞬时，的脉冲强度等于相应瞬时的幅值，即,，如图88所示。因此，理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程，如图89所示。采样器好比是一个幅值调制器，理想脉冲序列作为幅值调制器的载波信号，的数学表达式为(81)其中0,1,2,调幅后得到的信号，即采样信号为(82)通常在控制系统中，假设当时，信号，因此(83)或 (84)式(84)为一无穷项和式，每一项中的表示脉冲出现的时刻；而代表这一时刻的脉冲强度。式(82)或(84)表示了采样前的连续信号与采样后的离散信号之间的关系。然而，一个值得提出的问题是：采样后的断续信号能否全面而真实地代表原来的连续信号呢?或者说它是否包含了原连续信号的全部信息呢?因为从采样(离散化)过程来看，“采样”是有可能会损失信息的。下面我们将从频率域着手研究这个问题。二、 采样信号的频谱假设连续信号的富氏变换式为，采样后信号的富氏变换式用表示，下面我们来看的具体表达式。由于理想脉冲序列是一个周期函数，其周期为T，因此它可以展开成指数形式的富氏级数，即（85）其中为采样角频率。将式(85)的结果代入(82)式得（86）根据复位移定理；若，则因此，式(86)的富氏变换式为 (87)假定连续信号的频谱如图810(a)所示，则根据式(87)可得采样(离散)信号的频谱如图810(b)所示。由图810，可得到如下结论：(1)的项为，通常称为基本频谱。它正比于原连续信号的频谱。(2) 同时派生出以为周期的，无限多个高频频谱分量，其中1，2,。h以上表明了连续信号与它所对应的离散信号在频谱上的差别。从富氏变换及其反变换的有关定理可知，在一定条件下，原函数与其富氏变换式是一一对应的，亦即由富氏变换式可以唯一地还原成原函数。可以设想，如果让采样信号通过一个图811所示的理想滤波器，将所有派生出来的高频分量全部滤掉，而同时保留其基本频谱信号。那么经过这样处理后的信号，只要将其幅值放大倍，就能完全重现原信号。由图810不难看出，要想完全滤掉高频分量，筛选出基本频谱，从而根据采样信号来复现采样前的连续信号，采样频率必须大于或等于连续信号频谱中最高频率的两倍，即(88)这就是有名的香农(Shannon)采样定理。这一定理告诉我们，只要采样频率足够高，我们完全不必担心采样过程会损失任何信息。由图810也可看出，若采样频率不够高，即时，则将会出现如图812所示的频谱重叠现象。很明显，这时，我们就无法再把基本频谱和派生高频频谱分开；从而，也就无法重现原信号，或者说，采样过程将损失信息。另外，需要指出的是，如图811所示的理想滤波器，实际上是不存在的。因此在工程上，通常采用性能与理想滤波器相近似的低通滤波器，其中最常用的低通滤波器就是零阶保持器。三、 零阶保持器的数学模型零阶保持器的输入、输出关系如图813所示。因此，零阶保持器的作用是在信号传递过程中，把第时刻的采样信号值一直保持到第时刻的前一瞬时，把第时刻的采样值一直保持到时刻，依次类推，从而把一个脉冲序列变成一个连续的阶梯信号。因为在每一个采样区间内的值均为常值，亦即其一阶导数为零，故称为零阶保持器，可用“ZOH”来表示。如果把阶梯信号的中点连起来，则可以得到与形状一致而时间上迟后半个采样周期的响应曲线，如图813中的虚线所示。由此也可初步估计到零阶保持器对于系统动态性能的影响。为了求取零阶保持器(ZOH)的数字模型，可以从图813中任取一个采样周期来进行分析。零阶保持器的输入是脉冲函数，为了叙述方便，假设脉冲强度为1，即为单位脉冲函数，于是零阶保持器的输出就是单位脉冲过渡函数，该单位脉冲过渡函数的拉氏变换式，即为零阶保持器的传递函数。零阶保持器的单位脉冲过渡函数的图形是高度为1，宽度为的矩形波，如图814(a)所示。为了求其拉氏变换式，可以把它分解成两个阶跃函数之和，如图814(b)所示。于是，脉冲过渡函数可表示为相应的拉氏变换式为这就是零阶保持器的传递函数，即(89)而零阶保持器的频率特性为其频率特性曲线如图815所示。与理想滤波器图811相比较，可见，两者都能起低通滤波作用。不过零阶保持器的频率特性不很理想。信号经过零阶保持器以后，其高频分量不能完全滤掉。此外，零阶保持器具有的相角迟后。因此，零阶保持器的引入将会使系统的稳定性变差。零阶保持器的一个优点是，可以近似地用无源网络来实现。如果将零阶保持器传递函数中的项展开成幂级数，并取前两项，则有这是就图816所示网络的传递函数。.