课时达标第5讲 函数的单调性与最值解密考纲本考点考查函数的单调性，单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度中等；有时也与其他知识相结合出解答题，有一定难度一、选择题1下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是(C)Af(x)3xBf(x)x23xCf(x)Df(x)|x|解析当x0时，f(x)3x为减函数当x时，f(x)x23x为减函数；当x时，f(x)x23x为增函数当x(0，)时，f(x)为增函数当x(0，)时，f(x)|x|为减函数2函数f(x)|x2|x的单调减区间是(A)A1,2B1,0C0,2D2，)解析由于f(x)|x2|x结合图象可知函数的单调减区间是1,23已知函数f(x)log(x2ax3a)在1，)上单调递减，则实数a的取值范围是(D)A(，2)B2，)CD解析令tg(x)x2ax3a，易知f(t)logt在其定义域上单调递减，要使f(x)log(x2ax3a)在1，)上单调递减，则tg(x)x2ax3a在1，)上单调递增，且tg(x)x2ax3a0，即所以即a2.4已知函数f(x)则“c1”是“函数f(x)在R上递增”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析若函数f(x)在R上递增，则需log21c1，即c1.由于c1c1，但c1/ c1，所以“c1”是“f(x)在R上递增”的充分不必要条件5定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2.则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于(C)A1B1C6D12解析由已知得，当2x1时，f(x)x2；当1f(a)，则实数a的取值范围是(C)A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)解析f(x)由f(x)的图象可知f(x)在(，)上是单调增函数，由f(2a2)f(a)，得2a2a，即a2a20，解得2af(1)的实数x的取值范围是_(，0)(1，)_.解析由题意知1或x时，a靠近右端点5，此时|ta|4a|a4，即f(x)maxa4a2a45，不符合题意综上可得，a的取值范围是.三、解答题10(2018甘肃嘉峪关一中期中)已知函数f(x).(1)写出函数f(x)的定义域和值域；(2)证明：函数f(x)在(0，)上为单调递减函数，并求f(x)在x2,8上的最大值和最小值解析(1)定义域为x|x0又f(x)1，值域为y|y1(2)设0x1x2，则f(x1)f(x2).又0x10，x2x10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(0，)上为单调递减函数，在x2,8上，f(x)的最大值为f(2)2，最小值为f(8).11已知f(x)，x1，)(1)当a时，用定义证明函数的单调性并求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围解析(1)当a时，f(x)x2，任取1x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2).1x11，2x1x210.又x1x20，f(x1)0恒成立，则等价于a大于函数(x)(x22x)在1，)上的最大值(x)(x1)21在1，)上递减，当x1时，(x)取最大值为(1)3，a3，故实数a的取值范围是(3，)12已知函数f(x)lg，其中a是大于0的常数(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a(1,4)时，求函数f(x)在2，)上的最小值解析(1)由x20，得0.a1时，x22xa0恒成立，定义域为(0，)；a1时，定义域为x|x0且x1；0a1时，定义域为x|0x1(2)设g(x)x2，当a(1,4)，x2，)时，g(x)10恒成立，g(x)x2在2，)上是增函数f(x)lg在2，)上是增函数f(x)lg在2，)上的最小值为f(2)lg.