常系数线性方程组基解矩阵的计算董治军（巢湖学院 数学系，安徽 巢湖 238000）摘 要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过 方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法.关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数Calculation of Basic solution Matrix of Linear Homogeneous System with Constant CoefficientsZhijun Dong(Department of Mathematics, Chaohu College Anhui, Chaohu)Abstract: Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method.Keyword: linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent引言:线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 XAX 的基解矩阵的计算问题，这里A是常数矩阵.一矩阵指数的定义和性质：1.矩阵范数的定义和性质 定义：对于矩阵Ann 和n维向量X 定义A的范数为 ，= 设A，B是nn矩阵，x，y是n维向量，易得下面两个性质：（1） ，；（2）+ ，+.2.矩阵指数的定义和性质：(!)定义：如果A是一个nn常数矩阵，我们定义矩阵指数为下面的矩阵级数的和： =E+A+ （1.0）其中E为n阶单位矩阵，是A的m次幂，这里我们规定=E，0！=1 这个级数对于所有的A都是收敛的.因次是一个确定的非负矩阵，特别的，对所有元均为0的零矩阵0，有exp0=E.事实上，由上面范数的性质（1），易知对于一切正整数k，有，又因对于任一矩阵A，是一个确定的实数，所以数值级数+ 是收敛的.进一步指出，级数t=在t的任何有限区间上是一致收敛的.事实上，对于一切正整数k，当c（c是某一整数）时，有，而数值级数是收敛的，因而t=是一致收敛的.（2）矩阵指数的性质：若矩阵A，B是可交换的，即AB=BA，则 （A+B）= ；对于任何矩阵A，存在，且=exp（-A）；如果T是非奇异矩阵，则 exp（AT）=（）T .3.有关常系数奇次线性微分方程组的基本问题定理1：矩阵（t）=t （1.1） 是的基解矩阵，且（0）=E. 证明：由定义易知（0）=E，将（1.1）对t求导，得（t）=A+t+ =At = A（t）这就表明，（t）是的解矩阵，又（0）=1 因此（t）是的解矩阵. 证毕.注1：由定理1，我们可以利用这个基解矩阵推知的任一解 （t）=（t）C 这里C打、是一个常数向量.例1：如果A是一个对角矩阵A= （其中未写出的元均为零） 试找出=Ax 的基解矩阵.解：由（1.0）可得 t=E+=根据定理1，这就是一个基解矩阵.例2：试求=x的基解矩阵.解：因为A=+ 而且后面的两个矩阵是可交换的，得到=exptexpt=但是=所以 级数只要两项，因此 基解矩阵是t= .二基解矩阵的计算1.基于特征值和特征向量型计算基解矩阵类似于一阶齐次线性微分方程，希望方程组有形如的解，其中为待定的参数，C为待定的n维非零向量，将之代入方程组，得到 ，即有 （1.2）要使齐次线性代数方程组（1.2）有非零解向量，应有 （1.3）称式（1.3）为方程组的特征方程，称为A的特征值.称非零向量C为A的对应于特征值的特征向量.于是有如下结论:为方程组的充分必要条件是为A的特征值，且C为对应于的特征向量.这样就提供了用代数方法求解的平台.（1） 设A具有n个线性无关的特征向量，它们对应的特征向量分别为（不必各不相同）易知矩阵 是常系数齐次线性微分方程组的一个基解矩阵. 事实上，由上面讨论知道向量函数（1n） 都是方程组的一个解，因此是方程的解矩阵.计算 于是是方程组的基解矩阵.注2：当A是n个不同的特征值时，就满足上述性质.注3：此处不一定是标准基解矩阵t，但由线性微分方程组的一般理论知：存在一个n个非奇异矩阵C，有= 令t=0，得C= 即t=于是当A是实矩阵时，则t为实的，这样上式就给出了一个构造实基解矩阵的方法.例3：利用特征值与特征向量求基解矩阵的方法，求解例1中的一个基解矩阵.解:显然A是对角矩阵，它有个特征值对于每个特征值易知其对应的特征向量为即有而这些特征向量线性无关，由注2，于是方程组有基解矩阵 这与例1 的计算结论一样.例4：试求方程组，其中 的一个基解矩阵.解：的特征值就是特征方程的根，解之得 对应与特征值的特征向量，计算齐次线性代数方程 因此是对应于的特征向量，类似的，可以求得对应于的特征向量 其中为任意常数，而是对应于的两个线性无关的特征向量.根据注2，于是矩阵就是方程组的一个基解矩阵.再由注3，实基解矩阵为（2）设A有k个不同的特征值它们的重数分别为其中 那么如何计算？回忆高等代数理论，对应于重特征值的如下线性代数方程组 （1.4）的解全体构成维欧几里得空间的一个维子空间并且n维欧几里得空间可表示成的直和，由此对于n维欧几里得空间的每一个向量，存在唯一组向量其中使得分解式为 （1.5）因此，一方面 对于的初始值，应用式（1.5）知存在有注意到空间的构造，即知是式（1.4）的解，即有因而有 （1.6）另一方面，为对角矩阵，因此由例1知 故有计算=所以方程组满足初始条件的解为= （1.7）同时注意到其中即在上面初始条件中分别令应用式（1.7）求得n个解，然后以这n个解作为列即得.注4：当A只有一个特征值时，即为n重的，因此都有这表明为零矩阵.则 （1.8）注5：式（1.7）表明方程组的任一解都可以经过有限次代数运算求出.例5：若A是例2中的矩阵，求初值问题的解和.解：本题用两种方法计算和方法一：易知是A的二重特征值，此时，A只有一个特征值，根据式（1.8）计算有=和特解=（）.方法二：是A的二重特征值，这时只有一个子空间，=不需要分解，根据式（1.7）有=.分别取代入上式中的中，则所以 和特解=.例6：考虑方程组，其中试求满足初始条件的解，并求.解：A的特征方程为分别为重特征根，为了确定的子空间 由式（1.4） 首先考虑齐次线性代数方程组 解得，其中为任意常数. 因此是由构成的一维子空间，其次考虑齐次线性方程组解得 其中为任意常数.因此是由构成的二维子空间.下面对初值进行分解，有 即于是 根据式（1.7） 有=最后为了得到，依次分别令代入上式得到3个线性无关解 于是2：“哈密顿-凯莱”法：设A是方程组的实系数矩阵，是A的特征多项式， 特征方程为A的=0 （1.9）方程（1.9）的根是矩阵A的特征多项式，且有哈密顿-凯莱定理：设是矩阵A的特征多项式，则亦即定理：设是矩阵A 的n个特征值（它们不一定不相等）则 （2.0）其中 并有是初值问题 （2.1）的解.推论：若A只有一个特征值，则上述定理将计算的问题转化为求方程组（2.1）满足初始条件的解的问题，由于方程组（2.1）是一个特殊的一阶常系数齐次线性方程组，容易直接求解.因而由公式（2.0）就可以直接求出方程组的基解矩阵.例7：求常系数齐次线性方程组，其中的解.解：A的特征方程为=0解得特征值为求解初值问题： 得 又因 则由公式：得.3:算子构造法：其构造步骤是： 利用已引入的微分算子写出的微分算子表示; 用算子法求解的微分算子表示的方程组得其通解：； 依次令 代入上述通解，则得得n个线性无关的特解； 以为列作成的矩阵 就是的基解矩阵，且夫人矩阵指数函数形式的基解矩阵为：.例8：试求方程组 （2.2）的基解矩阵，并求.解：（2.2）的算子表示就是 （2.3）求解（2.3） 即 （2.4）于是（2.4）的通解为 为任意常数 （2.5）（2.5）代入（2.3）的第一个方程得 故（2.3）的通解为 为任意常数）依次令得（2.3）的两个线性无关解； 以作列而成的矩阵： 就是（2.2）的一个基解矩阵.求（2.2）的基解矩阵 因，故 于是=.结束语：关于基解矩阵的计算，还可以利用矩阵的约当标