第四章 常微分方程41 基本概念和一阶微分方程甲 内容要点 一基本概念 1常微分方程 含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。 2微分方程的阶 微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶 3微分方程的解、通解和特解 满足微分方程的函数称为微分方程的解； 通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解； 通解有时也称为一般解但不一定是全部解； 不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。 4微分方程的初始条件 要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。 5积分曲线和积分曲线族 微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。 6线性微分方程 如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。 二变量可分离方程及其推广 1变量可分离的方程 （1）方程形式： 通解 （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式： 通解 2变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 令， 则 （2） 令， 则 （3） 当情形，先求出的解 令， 则属于齐次方程情形 当情形， 令 则 令， 则 属于变量可分离方程情形。 三一阶线性方程及其推广 1一阶线性齐次方程 它也是变量可分离方程，通解公式，（为任意常数） 2一阶线性非齐次方程 用常数变易法可求出通解公式 令 代入方程求出 则得 3贝努利方程 令 把原方程化为 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4方程： 可化为 以为自变量，为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 四全微分方程及其推广（数学一） 1全微分方程 ，满足 通解：， 其中满足 求的常用方法。 第一种：凑全微分法 把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）； 第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关） 第三种：不定积分法 由得 对求导， 得， 求出积分后求出 2全微分方程的推广（约当因子法） 设不是全微分方程。 不满足 但是存在 使得为全微分方程， 也即满足 则称为约当因子， 按全微分方程解法仍可求出 通解。 这种情形，求约当因子是关键。乙 典型例题5432考研论坛（bbs.5432.net）友情提供下载 一变量可分离方程及其推广 例1求下列微分方程的通解。 （1） （2） 例2求下列微分方程的通解。 （1） （2） （3） （4） 解：（1）令，则，原方程化为 ， （注：） （2）； 令，则 ， （3），令，则 ， （4）令，则， 例3求微分方程的通解。 例4求微分方程 例5求微分方程的通解。 例6求微分方程的通解。 例7求微分方程 例8求微分方程的通解 二一阶线性方程及其推广 例求下列微分方程的通解 （1） （2） （3） （4） 解：（1）直接用常数变易法 对应的齐次线性方程为，通解 令非齐次线性方程的通解为 代入方程得 ， 故所求方程的通解为 （2）直接用通解公式（先化标准形式） ， 通解 （3）此题不是一阶线性方程，但把看作未知函数，看作自变量， 所得微分方程 即 是一阶线性方程 ， （4）此题把看作未知函数，看作自变量所得微分方程为 ， 42 特殊的高阶微分方程（数学四不要）甲 内容要点 一可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式通解令，则，原方程一阶方程，设其解为，即，则原方程的通解为。令，把看作的函数，则把，的表达式代入原方程，得一阶方程，设其解为即，则原方程的通解为。 二线性微分方程解的性质与结构 我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。 二阶齐次线性方程 （1） 二阶非齐次线性方程 （2） 1若，为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合（，为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当（为常数），也即与线性无关时，则方程的通解为 2若，为二阶非齐次线性方程的两个特解，则为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。 3若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则为此二阶非齐次线性方程的一个特解。 4若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线性方程的通解（，为独立的任意常数）则是此二阶非齐次线性方程的通解。 5设与分别是与 的特解，则是 的特解。 三二阶和某些高阶常系数齐次线性方程 1二阶常系数齐次线性方程 其中，为常数， 特征方程 特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式 （1）当，特征方程有两个不同的实根， 则方程的通解为 （2）当，特征方程有二重根 则方程的通解为 （3）当，特征方程有共轭复根， 则方程的通解为 2阶常系数齐次线性方程 其中为常数。 相应的特征方程 特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。 （1）若特征方程有个不同的实根 则方程通解 （2）若为特征方程的重实根 则方程通解中含有 （3）若为特征方程的重共轭复根 则方程通解中含有 由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。 四二阶常系数非齐次线性方程 方程： 其中为常数 通解： 其中为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求？ 我们根据的形式，先确定特解的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解，常见的的形式和相对应地的形式如下： 1，其中为次多项式 （1）若不是特征根，则令 其中为待定系数。 （2）若是特征方程的单根，则令 （3）若是特征方程的重根，则令 2其中为次多项式，为实常数 （1）若不是特征根，则令 （2）若是特征方程单根，则令 （3）若是特征方程的重根，则令 3 或 其中为次多项式，皆为实常数 （1）若不是特征根，则令 其中 为待定系数 为待定系数 （2）若是特征根，则令 五欧拉方程（数学一） ，其中为常数称为阶欧拉方程。令代入方程，变为是自变量，是未知函数的微分方程，一定是常系数齐次线性微分方程。 注意下面变换公式： ， ， ， ， 。乙 典型例题 一可降阶的高阶微分方程 例1求下列微分方程的通解 （1） （2） 解：（1）令，则，原方程化为 属于贝努里方程 再令 则有 通解： （2）令，则，原方程化为 属于一阶线性方程 例2求下列微分方程的通解 （1） （2） 二常系数齐次线性微分方程 例1求下列微分方程的通解。 （1） （2） （3） （4） 解：（1）特征方程 ，即 特征根 ， 微分方程通解 （2）特征方程 ，即 特征根 二重根 微分方程通解 （3）特征方程 特征根 微分方程通解 （4） 特征方程 即 特征根 二重根， 微分方程通解 例2设方程，求满足，的特解。 三二阶常系数非齐次线性微分方程 例1求微分方程的一个特解。 解：这是二阶线性常系数非齐次方程，其自由项呈的形状，其中，。而该