高中2018届毕业班第一次诊断性考试数学（理工类）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，函数的定义域为，则（ ）A B C D2.若，则（ ）A B C D3. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的（ ）A B C D或4. 的展开式中，的系数为（ ）A B C. D5. 为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）A样本中的男生数量多于女生数量 B样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量 C. 样本中多数男生喜欢手机支付 D样本中多数女生喜欢现金支付6.已知是边长为的等边三角形，点在边上，且，则的值为（ ）A B C. D7. 若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（ ）A B C. D8.从这个数字中选个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被整除的概率为（ ）A B C. D9.已知定义在上的函数满足，当时，；当时，则函数的零点个数是（ ）A B C. D10. 已知椭圆的左焦点为轴上的点在椭圆外，且线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）A B C. D11.已知是球的直径，是球球面上的两点，且，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）A B C. D12.已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为A B或 C. 或 D或或第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，则 14.已知直线与圆相交于两点，若，则实数的值为 15. 如图，已知是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为 16. 如图，已知是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求满足不等式的最小正整数.18. 在中，内角所对的边分别为，已知的面积为.（1）求；（2）求的值.19. 全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平.某部门在该市年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与”的评分值（满分分）进行了统计，制成如图所示的散点图：（1）根据散点图，建立关于的回归方程；（2）从该市的市民中随机抽取了容量为的样本，其中经常参加体育锻炼的人数为，以频率为概率，若从这名市民中随机抽取人，记其中“经常参加体育锻炼”的人数为，求的分布列和数学期望.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.20. 如图，是棱形，与相交于点，平面平面，且是直角梯形，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.21. 已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数有两个零点，求的取值范围，并证明.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），其中.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知曲线与交于两点，记点相应的参数分别为，当时，求的值.23.选修4-5：不等式选讲已知不等式的解集.（1）求；（2）若，求证：.试卷答案一、选择题1-5: BBDBD 6-10:BADCC 11、12：DA二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17. 解：（1）由，有，又，所以时，.当时，也满足，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，所以令，解得，所以满足不等式的最小正整数为.18. 解：（1）由的面积为，得.因，所以，所以，得，又，由余弦定理得：，所以.（2）法一：由（1）中.解得，由正弦定理得：，所以，法二：由（1）有，所以.由正弦定理得，所以.19. 解：（1）由题，则.则.所以运动参与关于的回归方程是.（2）以频率为概率，从这名市民中随机抽取人，经常参加体育锻炼的概率为，由题，的可能取值为.则 .分布列如下：数学期望或.20.（1）证明：在棱形中，可得，因为平面平面，且交线为，所以平面，因为平面，所以.（2）直角梯形中，由，得平面.取的中点，以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则.所以.设平面的法向量，由，可取由.设平面的法向量为，同上得，可取.则，即二面角的余弦值为.21.解：（1）由得，当时，若；若，故当时，在处取得的极大值；函数无极小值.（2）当时，由（1）知在处取得极大值，且当趋向于时，趋向于负无穷大，又有两个零点，则，解得.当时，若；若；若，则在处取得极大值，在处取得极小值，由于，则仅有一个零点.当时，则仅有一个零点.当时，若；若；若，则在处取得极小值，在处取得极大值，由于，则仅有一个零点.综上，有两个零点时，的取值范围是.两零点分别在区间和内，不妨设.欲证，需证明，又由（1）知在单调递减，故只需证明即可.，又，所以，令，则，则在上单调递减，所以，即，所以.22.解：（1）的普通方程：，其中；的直角坐标方程：.（2）由题知直线恒过定点，又，由参数方程的几何意义知是线段的中点，曲线是以为圆心，半径的圆，且.由垂径定理知：.23.解：（1）当时，不等式即为，解得；当时，不等式即为，解得；当时，不等式即为，此时无解，综上可知，不等式解集.（2），欲证，需证，即证，即，即证，因为，所以显然成立.所以成立.