24.4 弧长和扇形面积一、教学目标（1）掌握扇形的面积公式，会利用扇形的弧长公式进行有关的计算.（2）了解圆锥的侧面展开图是一个扇形.（3）了解圆锥侧面积、全面积的计算方法，并会运用公式解决问题.二、 教学重难点（1） 教学重点：弧长公式、圆锥及有关概念；（2） 教学难点：圆锥的侧面积和全面积；知识点一：弧长公式在半径是R的圆中，因为360的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2r，所以n圆心角所对的弧长为l=nr180（l=nx2r/360)例：半径为1cm，45的圆心角所对的弧长为l=nr/180=451/180=453.141/180约等于0.785【提醒】(1) 在弧长公式中，n表示“1”的圆心角的倍数，在公式计算时，“n”和“180”不应再写单位；(2)在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量，即三个量中知二可求一；(3)正确区分弧、弧的度数相等、弧长相等，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，要充分注意，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧，才有这三者的统一.例1.如图，AB是O的直径，点D为O上一点，且ABD=30，BO=4，则的长为（）ABC2D【分析】先计算圆心角为120，根据弧长公式=，可得结果【解答】解：连接OD，ABD=30，AOD=2ABD=60，BOD=120，的长=，故选：D【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题例2.如图，O的直径AB=6，若BAC=50，则劣弧AC的长为（）A2BCD【分析】先连接CO，依据BAC=50，AO=CO=3，即可得到AOC=80，进而得出劣弧AC的长为=【解答】解：如图，连接CO，BAC=50，AO=CO=3，ACO=50，AOC=80，劣弧AC的长为=，故选：D【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键变式1.一个扇形的圆心角是120它的半径是3cm则扇形的弧长为2cm【分析】根据弧长公式可得结论【解答】解：根据题意，扇形的弧长为=2，故答案为：2【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键变式2.一个扇形的圆心角为120，它所对的弧长为6cm，则此扇形的半径为9cm【分析】根据弧长公式L=求解即可【解答】解：L=，R=9故答案为：9【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L=知识点二：扇形与扇形的面积公式1.扇形的定义一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。显然， 它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。几何原本中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形。2.扇形的面积公式角度制计算,其中 l是弧长，n是扇形圆心角，是圆周率，R是扇形半径。弧度制计算，其中l是弧长，|是弧l所对的圆心角的弧度数的绝对值，R是扇形半径。【提醒】（1） 对于扇形的面积公式与三角形的面积公式有些类似，可以把扇形看作一个曲边三角形，吧弧长l看做底边，R看做高，这样对比，便于记忆，也便于应用，实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连接各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限.（2） 根据扇形面积公式和弧长公式，已知S，l，n，R四个量中的任意两个，都可以求出另外两个量.例1一个扇形的圆心角为135，弧长为3cm，则此扇形的面积是6cm2【分析】先求出扇形对应的圆的半径，再根据扇形的面积公式求出面积即可【解答】解：设扇形的半径为Rcm，扇形的圆心角为135，弧长为3cm，=3，解得：R=4，所以此扇形的面积为=6（cm2），故答案为：6【点评】本题考查了扇形的面积计算和弧长的面积计算，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关键例2.已知扇形的弧长为2cm，圆心角为120，则扇形的面积为3cm2【分析】首先运用弧长公式求出扇形的半径，运用扇形的面积公式直接计算，即可解决问题【解答】解：设该扇形的弧长为，半径为，圆心角为，则，而=120，解得：=3，该扇形的面积=3（cm2），故答案为3【点评】该题主要考查了扇形的面积公式、弧长公式等知识点及其应用问题；应牢固掌握扇形的面积公式、弧长公式，这是灵活运用、解题的基础和关键变式1.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90的扇形，则此扇形的面积为（）A2BCm2D2m2【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可【解答】解：连接AC，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90的扇形，即ABC=90，AC为直径，即AC=2m，AB=BC，AB2+BC2=22，AB=BC=m，阴影部分的面积是=（m2），故选：A【点评】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键变式2如图，在ABCD中，B=60，C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）AB2C3D6【分析】根据平行四边形的性质可以求得C的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积【解答】解：在ABCD中，B=60，C的半径为3，C=120，图中阴影部分的面积是：=3，故选：C【点评】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式解答知识点三：圆锥及有关概念圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，如图所示，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.【提醒】圆锥的特征：（1）底面的特征：圆锥的底面都是一个圆。（2）侧面的特征：圆锥的侧面是曲面。（3）高的特征：一个圆锥只有一条高。（4）母线的特征：圆锥母线的长度大于圆锥的高。圆锥的底面半径r，高h和母线l构成了一个直角三角形，由勾股定理可得，半径的平方+高的平方=母线的平方.点拨方法：判断一个图形是圆锥的条件：底面是一个圆；侧面是一个曲面，只有一条条高；有一个顶点。例1.说一说下面哪些是圆锥例2.1、判断（1）圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。（ ）（2）从圆锥的顶点到底面任意一点的距离叫做圆锥的高。（ ）（3）圆锥从正面或侧面看，都是一个等腰三角形。（ ）2、下面图形中是圆锥的在括号里打“”，不是的打“”。 （1） （ ） （2）（ ） （3）（ ） （4）（ ） （5）（ ）变式1.下面各图标出圆锥的高正确吗？为什么？变式2.下列对高的测量正确的是（ ） A B C 拓展点一：弧长公式的应用例1.如图，A，B，P是半径为2的上的三点，APB=45，则的长为（）AB2C3D4【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理求出AOB，根据弧长公式求出即可【解答】解：连接OA、OB，APB=45，AOB=2APB=90，的长为=，故选：A【点评】本题考查了圆周角定理和弧长公式，能求出AOB的度数是解此题的关键例2.如图，点A，B，C在O上，ACB=30，O的半径为6，则的长等于（）AB2C3D4【分析】根据圆周角得出AOB=60，进而利用弧长公式解答即可【解答】解：ACB=30，AOB=60，的长=，故选：B【点评】此题考查弧长的计算，关键是根据圆周角得出AOB=60例3.如图，A、B、C三点在O上，若BAC=36，且O的半径为1，则劣弧BC的长是（）ABCD【分析】连接OB，OC，依据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得劣弧BC的圆心角的度数，然后利用弧长计算公式求解即可【解答】解：连接OB，OC，则BOC=2BAC=236=72，故劣弧BC的长是故选：B【点评】本题考查了弧长的计算公式以及圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键，难度一般变式1.如图，已知AB是O的直径，C，D是O上的点，OCBD，交AD于点E，连结BC（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，CBD=36，求的长【分析】（1）根据平行线的性质得出AEO=90，再利用垂径定理证明即可；（2）根据弧长公式解答即可【解答】证明：（1）AB是O的直径，ADB=90，OCBD，AEO=ADB=90，即OCAD，AE=ED；（2）OCAD，ABC=CBD=36，AOC=2ABC=236=72，【点评】此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答拓展点二：扇形面积公式的应用例1.如图，ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若A=60，B=100，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（）ABCD【分析】求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题；【解答】解：A=60，B=100，C=18060100=20，DE=DC，C=DEC=20，BDE=C+DEC=40，S扇形DBE=故选：C【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：S=例2.如图，正方形ABCD内接于圆O，AB=4，则图中阴影部分的面积是（）A416B816C1632D3216【分析】连接OA、OB，利用正方形的性质得出OA=ABcos45=2，根据阴影部分的面积=SOS正方形ABCD列式计算可得【解答】解：连接OA、OB，四边形ABCD是正方形，AOB=90，OAB=45，OA=ABcos45=4=2，所以阴影部分的面积=SOS正方形ABCD=（2）244=816故选：B【点评】本题主要考查扇形的面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆的面积公式变式1.如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为P，若AB=2，AC=（1）求A的度数（2）求弧CBD的长（3）求弓形CBD的面积【分析】（1）根据题意可以求得BC的长和ACB的度数，从而可以求得A的度数；（2）根据（1）中的结果可以求得COD的度数，从而可以求得弧CBD的长；（3）根据图形可知，弓形CBD的面积等于扇形CBD与COD的