长郡中学2021届高三月考试卷（六）数学本试卷共8页。全卷满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.已知复数满足（为虚数单位），则（ ）A. B. C. D.53.已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）A. B. C. D.4.是的零点，若，则的值满足（ ）A.的符号不确定 B. C. 5.在矩形中，与相交于点，过点作，则（ ）A. B. C. D.6.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于，两点，若，则C的离心率为（ ）A. B. C.2 D.47.已知函数某个周期的图象如图所示，分别是图象的最高点与最低点，C是图象与x轴的交点，则（ ）A. B. C. D.8.概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局。双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（ ）A.甲48枚，乙48枚 B.甲64枚，乙32枚C.甲72枚，乙24枚 D.甲80枚，乙16枚二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（ ）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.若a，b，c都是正数，且，那么（ ）A. B. C. D.11.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）A.从中任取3球，恰有一个白球的概率是B.从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为C.现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为D.从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为12.关于函数，下列说法正确的是（ ）A.是的极小值B.函数有且只有1个零点C. 在上单调递减D.设，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的系数为_.14.已知，则_.15.如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足，.定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为_.16.已知两条抛物线，（且），M为C上一点（异于原点O），直线OM与E的另一个交点为N.若过M的直线l与E相交于A，B两点，且的面积是面积的3倍，则_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知等比数列的公比为，前项和为，若，且.（1）求；（2）设数列的前项和为，求证：.18.（本小题满分12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设。（1）求B；（2）若的面积等于，求的周长的最小值.19.（本小题满分12分）在四棱锥中，底面ABCD是边长为的正方形，平面底面ABCD，.（1）求证：；（2）点M，N分别在棱，求直线PB与平面DMN所成角的正弘值.20.（本小题满分12分）已知椭圆的焦距为，且过点.（1）求C的方程；（2）若直线l与C有且只有一个公共点，l与圆交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别记为，.试判断是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由.21.（本小题满分12分）某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩（x）和物理成绩（y），绘制成如图触点图：根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B.经调查得知，A考生由于感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：，其中，分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，2，42，y与x的相关系数.（1）若不剔除A，B两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为.试判断与r的大小关系，并说明理由；（2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到个位）；（3）从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩服从正态分布.以剔除后的物理成绩车为样本，用样本平均数y作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试求该地区5000名考生中，物理成绩位于区间（62.8，85.2）的人数Z的数学期望。附：回归方程中，.若，则，.22.（本小题满分12分）已知函数（1）讨论函数零点的个数；（2）若函数存在两个实点，证明： 数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BBADDCBC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。题号9101112答案ADADABDABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.5【解析】二项式，展开式中含项的系数为.14.15.【解析】在中，即，令，则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为.16.4【解析】设，则直线OM的方程为：，即，代入且），可得，即.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）由题，解得. 3分又，即，. 5分（2）由（1）知，又， 7分当时，故成立.当时，综上所述， . 10分18.【解析】（1）因为由正弦定理得.显然，所以， 3分所以，所以，. 6分（2）依题意，. 8分所以，当且仅当时取等号.又由余弦定理得，.当且仅当时取等号.所以的周长的最小值为. 12分19.【解析】（1）证明：记，连接，底面ABCD为正方形， 2分底面，平面，底面ABCD底面ABCD，. 5分（2）以为坐标原点，射线的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，由（1）可知可得设平面DMN的法向量，今，可得， 9分；直线PB与平面DMN所成角的正弦值为. 12分20.【解析】（1）由题意，得，解得，.椭圆的方程为. 5分（2）为定值.理由如下：当直线的斜率不存在时，直线的方程为；当时，则;当时，； 6分当直线的斜率存在时，设其方程为联立，得由题意得：，得则.8分综上，为定值.12分21.【解析】（1）理由如下：由图可知，y与x成正相关关系，异常点A，B会降低变量之间的线性相关程度。44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小.42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大.42个数据点更贴近其回归直线l.44个数据点与其回归直线更离散. 2分（2）由题中数据可得：，所以又因为，所以 4分.所以.6分将代入，得，所以估计同学的物理成绩为81分. 7分（3），所以，又因为，所以，9分因为，11分所以，即该地区本次考试物理成绩位于区间的人数的数学期望为3413. 12分22.【解析】（1），2分当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，故的最大值为，又当时，当时，当即时，没有零点， 当即时，有1个零点，当即时，有两个零点. 5分（2）证明：由（1）可知，由可知，即，设，则，故，要证：只需证：即证：，即，即证，7分令，则，令，则，令，则，9分在上单调递减，故，在上单调递减，故，在上单调递减，故，故在上单调递减，故，在上单调递减，故，即，.12分