“统一定义”初显神威一、“统一定义”破解曲线形状例1、方程的曲线是 （ ）A、椭圆 B、双曲线 C、线段 D、抛物线分析：一般情况下，判别点的轨迹是通过化简方程来实现，但针对此题此法处理不仅麻烦，且由于其曲线的对称轴与坐标轴不平行，化简了方程的形式仍很难识别，若能用圆锥曲线“统一定义”去分析，不难破解。解：原方程可化为。即点到定点的距离与到定直线的距离的比值为1，点P的轨迹是椭圆。故应选A。激活思维：本题将转化为其左端的几何意义可以理解为动点到定点和定直线的距离之比，其比值为，根据椭圆的第二定义可知所求的曲线是椭圆。因此本题变形是十分关键的，它要求对椭圆定义有较为深刻的理解才能做到。同时说明在第二定义中的定直线并一定是垂直于坐标轴的（如本题）。二、“统一定义”活解曲线方程。例2、在平面内到定点（0，4）的距离比它到定直线的距离小1的动点的轨迹方程。分析：此例若根据题设条件按部就班地列出关系式，再进行化简，整理也可得到轨迹方程，但这样做比较麻烦，其实，这里只要先将命题作一等价转换，然后再利用“统一定义”求解，十分简便。解：由题设可知：平面内动点到定点（0，4）的距离等于到定直线距离，由“统一定义”可知，动点的轨迹是以（0，4）为焦点，为准线的一条抛物线，其方程为。例3、已知椭圆的短轴长为4，离心率为，该椭圆有一个焦点在函数的图象上，且与这焦点相应的准线为x轴，求这个椭圆的方程。分析：显然椭圆的对称中心不在坐标原点，由题设知可利用圆锥曲线统一定义，列出关系式，经过化简整理，求得轨迹方程解：由已知，得解得，焦点到相应准线的距离为，由于准线是x轴，焦点坐标为，又焦点在的图象上，得焦点为（4，2）或。根椐圆锥曲线定义，设为椭圆上一点，则所求椭圆方程为：或。整理后得或所求的椭圆方程为或三、“统一定义”妙解圆锥曲线的最值例4、已知点A（3，0）、F（2，0），在双曲线上求一点P，使的值最小。分析：题设中|PF|是双曲线的焦半径，又是双曲线的离心率的倒数，由圆锥曲线“统一性定义”可知：就是双曲线上P点到相应准线的距离，再观察图象，便可解决问题。解：。设点P到与焦点F（2，0）相应的准线的距离为d，则。，这问题就转化为在双曲线上求点P，使P到定点A的距离与到准线的距离和最小。即直线PA垂直于准线时合题意，P（1，0）。四、“统一定义” 鉴别直线与圆锥曲线的位置关系YXCBANMFOD例5、在抛物线中（如图）A为抛物线上异于顶点的任一点，问以|PA|为直径的圆与y轴的位置关系如何。分析：判断直线与圆的位置关系可考虑圆心到直线的距离。解：如图，设过A点且平行于x轴的直线交y轴于B点，交直线L于C点，由统一定义可知|AC|=|AF|，设x轴与准线L交于D，则|OF|=|OD|=|BC|，取AF的中点M，过点M且平行于x轴的直线交于y轴于N，则。所以|FA|为直径的圆与y轴相切。五、“统一定义”妙求离心率例6、一直线过圆锥曲线的焦点F，且倾斜角为600，它与圆锥曲线交于A、B两点，若|FA|=2|FB|，求该圆锥曲线的离心率。分析：因AB是焦点弦，故其焦半径可以转化为点A、B到准线的距离，利用平面几何图形性质，结合统一定义可得以解决。解：设|FB|=x，则|FA|=2 x，|AB|=3 x，过A、B两点且平行于x轴的直线分别交其相应的准线于M、N两点，则，（为圆锥曲线的离心率），过B点作BKAM，K为垂足，由于直线AB与x轴成600，由此可求得：，又|AM|=|AK|+|BN|，即，所以。六、“统一定义”妙求参数的取值范围例7、已知双曲线的右焦点为F，右准线为L，又以F为焦点，L为准线的椭圆，截直线所得的弦恰好被x轴平分，求实数k的取值范围。解析：由焦点和准线方程，自然联想到统一定义来解题，由双曲线方程易得F（2，0），准线L：，设P为椭圆上任一点，由定义知，其中，平方整理得，且椭圆的中心为，由椭圆的对称性知，直线被椭圆截得的弦恰好被x轴平分的等价条件是该直线过点，于是有，整理得：，由于，所以，因，故，解得：，即为所求。