第八章 应力状态和强度理论81 概 述对于轴向拉压和平面弯曲中的正应力，将其与材料在轴向拉伸（压缩）时的许用应力相比较来建立强度条件。同样，对于圆杆扭转和平面弯曲中的切应力，由于杆件危险点处横截面上切应力的最大值，且处于纯剪切应力状态，故可将其与材料在纯剪切下的许用应力相比较来建立强度条件。构件的强度条件为式中，工作应力max或max由相关的应力公式计算；材料的许用应力或，应用直接试验的方法（如拉伸试验或扭转试验），测得材料相应的极限应力并除以安全因数来求得。但是，在一般情况下，受力构件内的一点处既有正应力，又有切应力，这时，一方面要研究通过该点各不同方位截面上应力的变化规律，从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位。受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点处的应力状态。另一方面，由于该点处的应力状态较为复杂，而应力的组合形式又有无限多的可能性，因此，就不可能用直接试验的方法来确定每一种应力组合情况下材料的极限应力。于是，就需探求材料破坏（断裂或屈服）的规律。如果能确定引起材料破坏的决定因素，那就可以通过较轴向拉伸的试验结果，来确定各种应力状态下破坏因素的极限值，从而建立相应的强度条件，既强度理论。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小的正六面体单元体来研究。作用在单元体各面上的应力可认为是均匀分布的。 如果单元体一对截面上没有应力，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内，则称之为平面应力状态（图81b）；所有面上均有应力者，称为空间应力状态（图81a）。根据弹性力学的研究，任何应力状态，总可找到三对互相垂直的面，在这些面上切应图81xyxxyxyyxy(b)xyxxzyxzzyz(a)yxyzyzx图82132(a)(b)(c)12力等于零，而只有正应力(图82a)。这样的面称为应力主平面(简称主平面)，主平面上的正应力称为主应力。一般以1、2、3表示(按代数值123)。如果三个主应力都不等于零，称为三向应力状态(图82a)；如果只有一个主应力等于零，称为双向应力状态(图82b)；如果有两个主应力等于零称为单向应力状态(图82c)。单向应力状态也称为简单应力状态，其它的称为复杂应力状态。本章主要研究平面应力状态，并讨论关于材料破坏规律的强度理论。从而为在各种应力状态下的强度计算提供必要的基础。82 平面应力状态的应力分析解析法一、斜截面应力图83xyxxyxyyxy(a)xny(c)txxyydefxy(b)yyyfeadbcn设ef为一与单元体前后截面垂直的任一斜截面，其外法线n与x轴间的夹角（方位角）为（图82b），简称为截面，并规定从x轴到外法线n逆时针转向的方位角为正值。截面上的正应力和切应力用和表示。对正应力，规定以拉应力为正，压应力为负；对切应力，则以其对单元体内任一点的矩为顺时针转向者为正，反之为负。假想地沿斜截面ef将单元体截分为二，取efd为脱离体，如图83c所示。根据 (b)分别有 (c) (d)根据切应力互等定律有 (e)将式（b）分别代入式(c)和(d)，经整理后有 (8-1) (8-2)利用三角关系 (f)即可得到 (83) (84)上列两式就是平面应力状态（图83a）下，任意斜截面上应力和的计算公式。例题81 图a为一平面应力状态单元体，试求与x轴成30 角的斜截面上的应力。解：由图可知则由公式(133)及(134)可直接得到该斜截面上的应力203030单位：MPaxy(a)xn30301020y3030(c)303030例题81图二、主应力和主平面 将式(83)对取导数 （a）令此导数等于零，可求得达到极值时的值，以0表示此值 (b)即 (85)由此式可求出0的相差90的两个根，也就是说有相互垂直的两个面，其中一个面上作用的正应力是极大值，以max表示，另一个面上的是极小值，以min表示。利用三角关系： (c)将式(135)代人上两式，再回代到式(133)经整理后即可得到求max和min的公式如下： (86)式中根号前取“+”号时得max，取“”号时得min。 若把式(136)的max和min相加可有下面的关系： (89)即：对于同一个点所截取的不同方位的单元体，其相互垂直面上的正应力之和是一个不变量，称之为第一弹性应力不变量，并可用此关系来校核计算结果。用完全相似的方法，可以讨论切应力的极值和它们所在的平面。将式(84)对取导数，得 (a)令导数等于零，此时 取得极值，其所在的平面的方位角用 表示，则 (b) (810)由式(810)解出sin2和cos2。代入式(84)求得切应力的最大和最小值是 (811)与式(136)比较，可得 (812)再比较式(85)和(810)两式，则有 (813)这表明20与2相差90，即切应力极值所在平面与主平面的夹角为45单位：MPa20303035.813例题82图以上所述分析平面应力状态的方法称为解析法。例题82 图示为某构件某一点的应力状态，试确定该点的主应力的大小及方位。解：由图可知将其代入式(136)则主应力为由式（85）得83 应 力 圆 一、应力圆 由斜截面应力计算公式(83)与(84)可知，应力和均为2的函数。将二式分别改写成如下形式： (a) (b)然后，将以上二式各自平方后再相加，于是得图84O (x +y)/2C (c) 这是一个以正应力为横坐标、切应力为纵坐标的圆的方程，圆心在横坐标轴上，其坐标为，半径为。而圆的任一点的纵、横坐标则分别代表单元体相应截面上的切应力与正应力，此圆称为应力圆或莫尔(O.Mohr)圆，如图84所示。二、应力圆的绘制及应用图85y(a)yyxxxn(b)xOD1 (x ,x)CB1B2A1A2(x,y) D2 (x +y)/2 (x -y)/220maxmin2E (,)EF 根据图85所示一平面应力状态单元体，作出相应的应力圆，在坐标系的平面内，按选定的比例尺，找出与x截面对应的点位于D1 (x ,x)，与y截面对应的点位于D2 (y ,y)，连接D1和D2两点形成直线，由于x 和y数值相等，即，因此，直线与坐标铀的交点C的横坐标为(y+y)/2，即C为应力圆的圆心。于是，以C为圆心，或为半径作圆，即得相应的应力圆。应力圆确定后，如欲求斜截面的应力，则只需将半径CD1沿方位角的转向旋转2至CE处，所得E点的纵、横坐标E 与E 即分别代表截面的切应力与正应力 ，令圆心角A1CD1=20。在利用应力圆分析应力时，应注意应力圆上的点与单元体内的截面的对应关系。如图86所示，当单元体内截面A和B的夹角为时，应力图上相应点a和b所对应的圆心角则为2，且二角之转向相同。实质上，这种对应关系是应力圆的参数表达式(83)和(84)以两倍方位角为参变量的必然结果。因此，单元体上两相互垂直截面上的应力,在应力圆上的对应点，必位于同直径的两端。例如在图85中，与x截面上应力对应的点D1，以及与y截面上应力对应的点D2，即位于同一直径的两端。例题84 试用图解法求解图示应力状态单元体的主应力。(a)200300200单位：kPa0 100kPaOCCD(b)1283x62(c)例题84图解：首先，在选定坐标系的比例尺，由坐标（200,-300）和（-200,300）分别确定C和C点(图b）。然后，以CC 为直径画圆，即得相应的应力圆。从应力圆量得主应力及方位角，并画出主应力的应力状态如图。84 三向应力状态的最大应力图87da1bc(a)12xzy3213adbc1(b)332一、三向应力圆将三个坐标轴方向取在三个互相垂直的主应力方向上，选取如图87a所示单元体。首先分析与主应力3平行的斜截面abcd上的应力。不难看出(图137b)，该截面的应力和仅与主应力1反2有关。所以，在坐标平面内，与该类斜截面对应的点，必位于由1与2所确定的应力圆上(图88)。同理与主应力2 (或1)