西北民族大学数学与计算机科学学院研究群的子群的乘积是子群的判定条件摘 要本次论文研究的题目是子群与子群的乘积是子群的充要条件是什么，所以我们首先要了解子群的定义。子群，子群！从字面意义上知子群是群的一个子集，所以又必须知道群的定义。在了解群与子群的定义后，再发现群与子群的性质，掌握群的代数运算，子群与子群之间的代数运算。现在我所研究的是在已经知道子群与子群的乘积是子群的充要条件下，研究三个子群的乘积是子群的充要条件。关键字：群 子群 子群与子群的乘积一、群的定义 定义1 设G是一个非空集合，是它的一个代数运算，如果满足一下条件： .结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有 (ab) c=a(bc); .G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有 ea=a; .对G中每个元素a，在G中都有元素，叫做a的左逆元，使ba=e; 则称G对代数运算作成一个群。 如果对群G中任二元素a,b均有 ab=ba, 即G的代数运算满足交换律，称G为交换群（可换群）或Abel群。否则称G为非交换群（非可换群）或非Abel群。例如，显然全体非零有理数以及全体正有理数对于数的普通乘法都作成群，分别称其为非零有理数群和正有理数群。但应注意，整数集Z对于数的普通乘法不能作成群。因为，尽管普通乘法是Z的代数运算，并且满足结合律，也有左单位元1，但是，出去1和-1外其他任何整数在Z中都没有左逆元。例1 设G为整数集，问：G对运算 ab=a+b+4是否作成群？解 由于对任意整数a,b，显然a+b+4为a与b惟一确定的整数，故所给运算是G的一个代数运算。其次，有(ab) c=(a+b+4) c =(a+b+4)+c+4=a+b+c+8.同理有a(bc)=a+b+c+8.因此，对G中任意元素a,b,c有(ab)c=a(bc),即代数运算满足结合律。又因为对任意整数a均有（-4）a=-4+a+4=a,故-4是G的左单位元。最后，由于 （-8-a）a=-8-a+a+4=-4故-8-a是a的左逆元。因此，整数集G对代数运算作成一个群。二、群的性质性质1 一个群如果只包含有限个元素，则称为有限群；否则称为无限群。定理1 群G的元素a的左逆元 a也是a的一个右逆元，既有 aa=a a=e.证 因为aG，故a在G中也有左逆元，设为a,即a a=e.由此可得 a a=e(a a)=( a a)(a a) = a( a a) a= a(e a) = a a=e.从而 aa=a a=e.以后称a为a的逆元。定理2 群G的左单位元e也是G的一个右单位元，即对群G中任意元素a均有 ea=ae=a.证 因为ae=a(aa)=(a a)a=ea=a,故ea=ae=a.以后称e为群G的单位元。定理3 群G的单位元及每个元素的逆元都是惟一的。证 设e与e都是G的单位元，则根据单位元的定义，有 e e= e=e.其次，设a及a都是a的逆元，既有 aa=a a=e, aa=a a=e.由此进一步得 a= ae= a(a a) =( aa) a=e a= a,即a= a，a的逆元是惟一的。推论1 在群中消去律成立，即 ab=ac b=c, ba=ca b=c.证 因为ab=ac，所以a(ab)= a(ac),即 ( aa)b=(aa)c, 即b=c.同理， ba=ca b=c.三、子群的定义定义 2 设 为群的一个非空子集，G是一个群. 如果 对于 的代数运算也构成群, 则称 为 的一个子群。由子群的定义, 可以得到子群的下列性质:定理 4设 为 的子群. 则(1) 的单位元 就是子群 的单位元;(2) 设 , 则 在 中的逆元就是 在 中的逆元.证明 (1) 设 为 的单位元, 为 的单位元, 则由于 中有消去律, 所以从 的两边消去 得: ;(2) 设 是 在 中的逆元, 是 在 中的逆元, 则.即, .例1 对任意群 , 本身以及只含单位元 的子集 关于 的运算构成 的子群. 这两个子群称为 的平凡子群.例2 设 为一固定整数, 令.则 为整数加群 的子群. 例3 整数加群是有理数加群的子群, 有理数加群是实数加群的子群. 一个非空子集 要成为群 的子群, 必须满足下列3个条件, 缺一不可:(1) 的元素全是 的元素;(2) 的代数运算就是 的代数运算在 上的限制;(3) 满足群的三个条件. 定理 5设 为群 的非空子集. 则 为 的子群的充分必要条件是:(1) 任给 , 有 ;(2) 任给 , 有 . 定理 6设 为群 的非空子集. 则 为 的子群的充分必要条件是: 任给 , 有 .证明 (必要性) 设 为群 的子群, 所以, 对任意的, 有 , 且 .(充分性) 如果对任意的 , 有 . 则任给 , 有 , 进而 . 所以定理2的条件(2)成立. 又任给 , 由上面的证明知道, , 从而知 . 所以定理2的条件(1)也成立. 因此由定理2知, 为 的子群.例 4 设 是所有 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群. 是所有行列式等于1的 阶矩阵所组成的集合. 则 是 的子群.证明 首先, 单位矩阵 的行列式为 1, 所以 非空. 又对任一 阶方阵 , 如果 , 则 , 所以 可逆, 故 是 的子集. 又对任意的 , 有 , 所以.这说明 . 从而由定理3知, 是 的子群.设 是群, 中与 的每一个元素都可交换的元素所组成的集合称为 的中心.例 5 证明: 的中心 是 的子群.证明 (1) 因为 , , 所以 , 这说明 是 的非空子集.(2) 如果 , 则对任意的 , 有.所以, . 从而定理2的条件(1)成立.(3) 如果 , 即 , 则,所以, . 从而定理2的条件(2)也成立.于是由定理2知, 为 的子群. 显然, 是一个交换群. 例 6 群 的任何两个子群的交集也是 的子群. 群 的任意多个子群的交集仍是子群. 群 的两个子群的并一般不是子群. 推论2 群G的非空子集H作成群的充分与必要条件是：HH=H 且 H=H.证 设HG，则 HH=H 显然。又如 aH，则必有aH，从而a=(a)H,故H包含在H中。类似可证H也包含在H中，故H=H. 反子设HH=H.则由HH=H知H对G的乘法封闭。另外，若aH,则aH。于是有bH使 a=b,a=bH.于是由定理2知，HG.推论3 群G的一个非空子集H作成子群的充分必要条件是： H H=H. 特别，群G的非空有限子集H作成子群的充分与必要条件是： HH=H.四、关于群的其它准备1.HG，即aG, 有aH=Ha2.aG,有aHa=H3.aG,有aHaH4.aG,hH,有ahaH5.aG,有aHHa6.aG,有HaHa7.aHbH=abH, a,bG 即两个左陪集的乘积仍是左陪集8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集9.aG,有aHa=H10.aG,有aHaH11.aG,hH,有ahaH12.aG,有HaaH13.aG,有HaHa14.HaHb=Hab, a,bG 即两个右陪集的乘积仍是右陪集15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在）17.H是G的子群，则G中由aRb,当abH，所定义的关系R为同余关系18.N(H)=G19.若nN，则所属的G的共轭元素C(n)H。即H由G的若干整个的共轭类组成。五、子群与子群的乘积。定理7 设H，K是G的两个子群，则 HKG HK=KH.证 1) 设HK G，有推论2知 (HK)=HK.但由于H=H,K=K. (HK)= K H=KH,从而 HK=KH.2) 设HK=KH,则有 （HK）(HK)=HK. K H=HKKH=HKH=HHK=HK.从而由推论3知，HKG。本定理中的条件HK=KH是两个集合的相等，并不是说H中的任何元素与K中任何元素相乘是可以交换。一般的情况下，子群与子群的乘积不一定是子群，但是在一定的前提条件下，子群与子群的乘积可以是乘积。定理6中，条件HK=KH只是两个子群的乘积是子群的充要条件，那么三个子群的乘积是子群的充要条件是什么呢？设H,K,L是群G的三个子群，则 HK设H,K,L是群G的三个子群G HK=KH. HLG HL=LH. KLG KL=LK.我们把HK看成一个整体，假设HK是G的子群，则(HK)与L的乘积是子群的充分必要条件是 (HK)L=L(HK)又因为HK=KH, (KH)L=L(KH).设H,K,L是群G的三个子群，若HKL是群G的子群，则(HKL)(HKL)=(HKL) 且 (HKL)=(HKL).又因为H,K,L均为子群，所以 H= H,K= K ,L=L.又因为 (HKL)= L K H，所以 HKL=(HKL)= L K H=LKH.由此，得出以下定理定理8 设H,K,L是群G的三个子群，则 HKLG HKL=LKH,HK=KH.证明： 充分性，因为HKLG,则有推论2知 (HKL)=(HKL).但由于H= H,K= K ,L=L.(HKL)= L K H,所以 HKL=(HKL)= L K H=LKH,即 HKL=LKH.因为(HKL)= L (HK)=L(HK)=LKH所以 (HK)=KH, 因为HK是G的子群，所以 HK=KH, 必要性， 因为HKL=LKH，则有 (HKL) (HKL)=HKL. L K H=HKLLKH =HKLKH 又因为 HK=KH,则 HKLKH=HKHKL=HKKHL=HKHL=HHKL=HKL, 由推论3知， HKLG。 定理9 设H,H,