第二章 数列能力检测满分150分考试时间120分钟一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2023年年山西太原期末)数列1,3,6,10，的一个通项公式是()AanBanCann2(n1)Dann21【答案】A【解析】观察数列1,3,6,10，可以发现11,312,6123,101234，第n项为1234n.an.故选A2已知等差数列an的前n项和为Sn且满足1，则数列an的公差d是()A2B1C1D2【答案】D【解析】由1得a1d1，d2.3已知3，a2，b4成等比数列，1，a1，b1成等差数列，则等差数列的公差为()A4或2B4或2C4D4【答案】C【解析】3，a2，b4成等比数列，1，a1，b1成等差数列，(a2)23(b4)，2(a1)1b1，联立解得或当时，a20，与3，a2，b4成等比数列矛盾，应舍去；当时，等差数列的公差为(a1)1a4.故选C4已知等差数列an的公差d0，若a4a624，a2a810，则该数列的前n项和Sn的最大值为()A50B40C45D35【答案】C【解析】a4a6a2a810，a4a624，d0，d1，ana4(n4)d10n.当n9或10时Sn取到最大值，S9S1045.5公差不为0的等差数列an，其前23项和等于其前10项和，a8ak0，则正整数k()A24B25C26D27【答案】C【解析】由题意设等差数列an的公差为d，d0，其前23项和等于其前10项和，23a1d10a1d，变形可得13(a116d)0.a17a116d0.由等差数列的性质可得a8a262a170，k26.故选C6已知各项为正的等比数列an中，a4与a14的等比中项为2，则a7a9a11()A16B16C32D32【答案】B【解析】各项为正的等比数列an中，a4与a14的等比中项为2，a4a14(2)28.a7a11a8.a7a9a1116.故选B7如果数列an满足a12，a21且(n2)，则这个数列的第10项等于()ABCD【答案】D【解析】，11，2，故是等差数列又d，95，故a10.8设等差数列an的前n项和为Sn，若2a86a11，则S9的值等于()A54B45C36D27【答案】A【解析】2a8a5a11,2a86a11，a56.S99a554.9已知各项都为正数的等比数列an中，a2a44，a1a2a314，则满足anan1an2的最大正整数n的值为()A3B4C5D6【答案】B【解析】a2a44，an0，a32.a1a212.消去a1，得6.q0，q.a18，an8n124n.不等式anan1an2化为293n，当n4时，2934，当n5时，2935.故选B10(2023年年内蒙古包头模拟)已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足n(n1)S(n2n1)Sn10(nN*)，则S1S2S2023年()ABCD【答案】D【解析】n(n1)S(n2n1)Sn10(nN*)，(Sn1)n(n1)Sn10.又Sn0，n(n1)Sn10，Sn.S1S2S2 019.11已知数列3,7,11，139与2,9,16，142，则它们所有公共项的个数为()A4B5C6D7【答案】B【解析】由题意可知数列3,7,11，139的通项公式为an4n1,139是数列第35项数列2,9,16，142的通项公式为bm7m5,142是数列第21项设数列3,7,11，139的第n项与数列2,9,16，142的第m项相同，则4n17m5，n1，m为4的倍数且m不大于21，n不大于35.由此可知，m只能为4,8,12,16,20.此时n的对应值为6,13,20,27,34.公共项的个数为5.故选B12(2023年年福建厦门模拟)已知等差数列an的公差d0，an的部分项ak1，ak2，akn构成等比数列，若k11，k25，k317，则kn()A23n11B23n11C23n1D23n1【答案】A【解析】设等比数列ak1，ak2，akn的公比为q.因为k11，k25，k317，所以a1a17a，即a1(a116d)(a14d)2，化简得a1d2d2.又d0，得a12d，所以q3.一方面，akn作为等差数列an的第kn项，有akna1(kn1)d2d(kn1)d(kn1)d；另一方面，akn作为等比数列的第n项，又有aknak1qn1a13n12d3n1，所以(kn1)d2d3n1.又d0，所以kn23n11.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13(2017年新课标)设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_.【答案】8【解析】设an的公比为q，则解得a4a1q38.14等比数列an的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则an的公比为_【答案】【解析】S1,2S2,3S3成等差数列，4S2S13S3.ana1qn1，即4(a1a1q)a13(a1a1qa1q2)，解得q.15已知数列an满足an1且a1，则该数列的前2 017项的和等于_【答案】【解析】a1，an1，a21，从而a3，a41，即得an故数列的前2 017项的和S2 0171 00811 009.16(2023年年江苏)已知集合Ax|x2n1，nN*，Bx|x2n，nN*将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an记Sn为数列an的前n项和，则使得Sn12an1成立的n的最小值为_【答案】27【解析】B2,4,8,16,32,64,128，与A相比，元素间隔大，所以从Sn中加了几个B中元素考虑.1个：n112，S23,12a336；2个：n224，S410,12a560；3个：n437，S730,12a8108；4个：n8412，S1294,12a13204；5个：n16521，S21318,12a22396；6个：n32638，S381 150,12a39780.发现21n38时Sn12an1与0的大小关系发生变化，以下采用二分法查找：S30687,12a31612，所以所求n应在2229之间，S25462,12a26492，所以所求n应在2529之间，S27546,12a28540，所以所求n应在2527之间，S26503,12a27516.因为S2712a28，而S2612an1成立的n的最小值为27.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2017年北京)已知等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a2a410，b2b4a5.(1)求an的通项公式；(2)求和：b1b3b5b2n1.【解析】(1)设等差数列an的公差为d.因为a2a410，2a14d10.解得d2.所以an2n1.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2b4a5，所以bq49.解得q23.所以b2n1b1q2n23n1.从而b1b3b5b2n113323n1.18(本小题满分12分)已知an为等差数列，前n项和为Sn，S5S6且a36.(1)求数列an的通项公式；(2)若等比数列bn满足b26,6b1b35a3，求bn的前n项和Tn.【解析】(1)由已知可得a60，设等差数列的公差为d，由题意可得解得d2，a110，数列an的通项公式为an2n12.(2)设bn的公比为q，由题设得解得或当b13，q2时，Tn3(2n1)当b12，q3时，Tn3n1.19(本小题满分12分)等差数列an满足：a2a46，a6S3，其中Sn为数列an的前n项和(1)求数列an的通项公式；(2)若kN*且ak，a3k，S2k成等比数列，求k值【解析】(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a2a46，a6S3，得解得an11(n1)n.(2)S2k2k2k2k，由ak，a3k，S2k成等比数列，得9k2k(2k2k)，解得k4.20(本小题满分12分)已知数列an是公差不为零的等差数列，a12且a2，a4，a8成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)若bn(1)nan是等比数列且b27，b571，求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设数列an的公差为d(d0)，a12且a2，a4，a8成等比数列，aa2a8，即(23d)2(2d)(27d)，解得d2或d0(舍去)ana1(n1)d22(n1)2n.(2)令cnbn(1)nan，设数列cn的公比为q，b27，b571，an2n，c2b2a27223，c5b5a5712581.q327，故q3.cnc2qn233n23n1，即bn(1)nan3n1，bn3n1(1)n2n.则Tnb1b2b3bn(30313n1)246(1)n2n，当n为偶数时，Tn2；当n为奇数时，Tn22n.Tn21(本小题满分12分)(2023年年山东莱芜模拟)已知等比数列an满足an1an92n1，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnnan，求数列bn的前n项和为Sn.【解析】(1)设等比数列an的公比为q.