微分中值定理“中值点”的确定*(吉首大学数学与计算机科学学院 ，湖南吉首，416000)摘要：讨论了微分中值定理中值点0能被确定的几种函数类型，并通过拉格朗日中值定理，得到了初等函数的关于中值点0的一些具体性质.关键词：微分中值定理；泰勒定理；拉格朗日中值定理；L Hospital法则Diff Ascertainment Of Median Points In the Theory Of erentialMedian*(College of mathematics and computer science, Jishou University,Jishou Hunan 416000)Abstract: Several functional models applied to ascertain median points in the theory of differential median are discussed. Moreover, some specific properties of median points of elementary functions are obtained by Lagranges median theory.Key words: The Theory OfDifferential Median；Taylors Theory ；Lagranges mediantheory； L Hosp iprinciple引言：微分中值定理的使用越来越广泛，但是微分中值定理只肯定了中值点的存在 性，而中值点的位置没有已有的定理给以解决，但它已越来越被重视并被研究. 本文总结了已有的一些结论，探讨了微分中值定理中值点的性质，结合实例讨论 了初等函数的关于中值点0的确定问题，并在一些问题中进行了推广另外本文 还讨论了一些其他类型的微分中值定理中值点0的渐进性质.一、预备定理：1泰勒定理1:若函数f在a,b上存在直至n阶的连续导函数，在(a,b)内存在n + 1阶导函数，则对任意给定的x , x e a, b ，至少存在一点gw (a, b)，使得 0f (x) = f (x ) + f(x )(x - x ) +0 0 0d( x -2!MJ (x -n!j ( x - x ) n + 1(n + 1)!02、 拉格朗日中值定理1：若函数 f 满足以下条件(i) f在闭区间a,b上连续;(ii) f在开区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点g，使得f (b) - f (a) = f崔)(b - a)3、LHospital法则：设函数f和g在点x的某邻域内(点x除外)可导,00且g(x)丰0，并有lim f (x)= o = lim g(x)。如果极限lim f (x)存在(有限或 g(x)2 x0x - x02 x0无限)，则limx- x0g = lim g ( x )x- x0f,(x) g(x)二、初等函数对应的微分中值定理中值点的确定定理1.对任意的幕函数f( x) = xn(n0), x g a, b ，其中0 a b 若0满足f (b) f (a) = (b a) f a +0 (b a)，其中 0 0 1，则1 bn ann 1 an (b a)0 =ba证明：对f (x)求导得：广(x) = nxn-1由题意可知：bn an = (b a)na + 0 (b a)n1两边同除以n (b - a)，得bn a na + 0 (b a)n-1 =n(b a )两边开 n-1 次方，得a+0(ba)=nba的条件，可得ba213易得证毕例13设f (x) = x3，其中x g a,b，其中0 a b .试求满足f (b) f (a) = (b a) f a + 0 (b a)，(其中 0 0 1 且 a = 1, b = 2)时 0 的值.解：f (x) = x3 是幂函数，且 f (b) f (a) = (b a) f Ta + 0 (b a)中的 0 满足定理 1证毕推论1.对任意的幕函数f (x) = xn (n0), x g a, b ，其中0 a b若0满足f (b) f (a) = (b a)fa +0 (b a)，其中 0 0 1，bn anaba例2 设f (x) = 1，其中x e a,b，其中0 a b，试求满足xf (b) f (a) = (b a) fa +9 (b a)，(其中 0 9 1 且a = 1,b = 16)x -1 是幕函数，且 f (b) f (a) = (b - a) f T a +9 (b - a)时9 的值。中的9 满足推论 1的条件，16-1 -1-1可得 9 十 -1 %(16 -= 41 = 116 1155证毕.若9 满足定理2.对任意的指数函数f( x) =R x ,( 0, 1), f (b) f (a) = (b a) f a +9 (b a)，其中 0 9 1，p b a 1logp (b a) ln p9 =(b a)由题意可知：证明：对f (x)的求导得广(x)* x g卩pb pa =(ba)pa+9(ba)lnp两边同除以卩a，得p,b-a 1 = (b a)p9(b-a) In 卩两边同除以(b a )ln卩，得p b a 1p9( b a) = P 丄- (b a) ln p易得p b a 19 (b a) = logp (b a) ln p两边同除以b - a，得p b a 1logp (b a) ln p9 =(b a)证毕例 3.设 f(x) = ex， xe a,b ，试求满足f (b) f (a) = (b a) fa +9 (b a)，(其中 0 9 0, M 工 1,)， x e a, b - 其中a 0，若 0 满足 f (b) f (a) = (b - a) fa +0 (b - a)-其中0 0 0，试求满足f (b) 一 f (a) = (b 一 a) f a + 0 (b 一 a)，( 0 0 1 且 a = e, b = 2 e)时 0 的值.解：f (x) = ln x 是对数函数，且 f (b) - f (a) = (b - a) fa + 0 (b - a)中的 0 满足定理 3 的条件，可得 0 =I 2 e2 e 一 e ln 2ln x ln ee定理4.对任意三角函数f (x) = sin x，x e a,b，若0满足f (b) f (a) = (b a) f a +0 (b a)，其中 0 0 1，sin b 一 sin aarccos a由题意可得证明：(1)对f (x)求导得 f ( x) = (sin x) = cos xf (b) 一 f (a) = sin b 一 sin a = (b 一 a) cos a + 0 (b 一 a)两边同除以 b a，得 cos a +0 (b a) = sin b 一 sin b 一 asin b 一 sin a对 cos a + 0 (b 一 a) 的求反函数，得 a + 0( b 一 a ) = arccossin b 一 sin aarccos一 a易得证毕例 53设 f(x)=sin x， x e a, b ， 试求满足=(b 一 a) f a + 0 (b 一 a)，(其中0 0 1且巴)时0的值.解：f (x)=sin x 是三角函数，且 f (b) f (a) = (b a)广a +0 (b a)中的 0 满足定理4的条件，可得0 =11 一2 一壬arccos兀 兀 33 兀arccos 一 = arccos兀23证毕结论：对于三角函数f (x) = cos x, f ( x) = tan x, f ( x ) = cot x, f ( x ) = sec x, f ( x ) = csc x也同理可以确定0 的位置.定理5.对任意反三角函数函数f(x) = arcsin x，x e a,b 其中-1 a 1,且-1 b 1 右 0 满足 f (b) - f (a) = (b - a) f Ta + 0 (b - a),其中 0 0 1 ，sin b 一 sin aarccos 一 a贝 U 0 =b 一 a解： 对f (x)求导，得f f(x) =根据题意可得b 一 a arcsin b 一 arcsin a =;1 一 a + 0 (b 一 a)2易得1 一 x 2eb 一 a1 一 a + 0 (b 一 a)2 = ()2arcsin b 一 arcsin aa + 0 (b - a) = 、：1 - ()2arcsin b 一 arcsin a卩 一 ( )2 一 a两边减 a 后除以