第五章 方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容1方差分析基本思想（1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。（2） 多组均数比较的检验假设与F值的意义。（3）方差分析的应用条件。2常见实验设计资料的方差分析 （1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t检验法；Dunnett-t检验法；SNK-q检验法。（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。二、教学内容精要(一) 方差分析的基本思想1 基本思想 方差分析（analysis of variance，ANOVA）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean，SS）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS组间可由处理因素的作用加以解释。通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。2分析三种变异（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS组间）表示，即 MS组间= ， 其中，SS组间= ，=k-1为组间自由度。k表示处理组数。（2）组内变异：各处理组内部观察值之间不尽相同，这种变异叫做组内变异(variation within groups)，组内变异反映了随机误差的作用，其大小可用组内均方 () 表示， ，其中, ，为组内均方自由度。 （3）总变异：所有观察值之间的变异（不分组），这种变异叫做总变异(total variation)。其大小可用全体数据的方差表示， 也称总均方(MS总 )。按方差的计算方法，MS总= ，其中SS总=, k为处理组数，为第i组例数，=N-1为总的自由度， N表示总例数。（二）方差分析的应用条件（1） 各样本是相互独立的随机样本，且来自正态分布总体。（2） 各样本的总体方差相等，即方差齐性(homoscedasticity)。（三）不同设计资料的方差分析1完全随机设计的单因素方差分析（1）资料类型：完全随机设计(completely random design)是将受试对象完全随机地分配到各个处理组。设计因素中只考虑一个处理因素，目的是比较各组平均值之间的差别是否由处理因素造成。(2) 方差分析表：见表5-1。FF时，拒绝H0: 。表5-1 完全随机设计方差分析计算表来源SSMSF值组间SS组间MS组间= F=组内(误差)SS组内=SS总 SS组间=-=N- kMS组内=总计SS总= N 1 2随机区组设计的两因素方差分析 （1）资料类型：随机区组设计（randomized block design）是将受试对象按自然属性（如实验动物的窝别、体重，病人的性别、年龄及病情等）相同或相近者组成单位组（区组），然后把每个组中的受试对象随机地分配给不同处理。设计中有两个因素，一个是处理因素，另一个是按自然属性形成的单位组。单位组的选择原则是“单位组间差别越大越好，单位组内差别越小越好”。 （2）方差分析表：见表5-2。F处理F时，拒绝H0: 。表5-2 随机区组设计方差分析计算表变异来源SSMSF值处理组间 SS处理= k-1MS处理= F处理 = 单位组间 SS单位= b-1MS单位=F单位 = 误差SS误差= SS总- SS处理- SS单位=- =N-k-n+1MS误差= 总计 SS总 = N-13多个样本均数的多重比较如果方差分析结果表明各组间有显著差别，则需要进一步进行两两比较，也称均数间的多重比较（multiple comparison）。进行两两比较的方法主要有：（1） LSD-t检验：称为最小显著差异t检验。适用于k组中某一对或某几对在专业上有特殊意义的均数间差异的比较。检验统计量为t值，自由度为方差分析表中的误差自由度，查t界值表。 其中 （5-1）（2） Dunnett-t检验：它适用于k-1个试验组与一个对照组均数差别的多重比较，检验统计量为t值，自由度为方差分析表中的误差自由度，查Dunnet-t界值表。 ，其中= （5-2） （3）SNK-q检验：在方差分析结果拒绝H0时采用。适用于所有组均数的两两比较。检验统计量为q，自由度为比较组数a和方差分析表中的误差自由度，查q界值表。 其中， (5-3)4多组资料方差起行检验当各组标准差相差较大（如1.5倍）时，需检验资料是否满足方差齐性的条件。5. 变量变换当资料不能满足方差分析的条件时，如果进行方差分析，可能造成错误的判断。因此对于明显偏离上述应用条件的资料，可以通过变量变换的方法来加以改善。常用的变量变换方法有： （1）对数变换 对数变换不仅可以将对数正态分布的数据正态化，还能使数据方差达到齐性，特别是各样本的标准差与均数成比例或变异系数接近于一个常数时。变换公式为： (5-4)当原始数据中有小值或零时，可用（2）平方根变换 常用于使服从Possion分布的计数资料或轻度偏态的资料正态化；当各样本的方差与均数呈正相关时，可使资料达到方差齐性。变换公式为： (5-5)当原始数据中有小值或零时，可用 （3）倒数变换 常用于数据两端波动较大的资料，可使极端值的影响减小。变换公式为： (5-6) （4）平方根反正弦变换 常用于服从二项分布的率或百分比资料。一般地，当总体率较小（70%）时，通过平方根反正弦变换，可使资料接近正态，且达到方差齐性的要求。变换公式为： (5-7)（5）秩转换后，采用秩和检验比较组间差别（祥见第九章）。6两因素析因设计方差分析处理含有两因素两水平的全面组合。例如治疗肿瘤术后病人，可采用4种方法：既不放疗也不化疗（a0b0）；放疗不化疗（a1b0）；不放疗化疗（a0b1）；既放疗又化疗（a1b1）。设放疗为A因素（两水平），化疗为B因素（两水平），则构成22析因设计，目的是分析A的主效应，B的主效应及AB的交互作用。7重复测量资料的方差分析受试对象随机分组后，多次测量某一观察指标，以比较处理效应在不同时间点有无变化。如试验组和对照组的轻度高血压病人入院前、治疗后1天、2天、3天、4天的血压变化。设处理分组为A因素，重复测量的时间点为B因素，目的是分析A的主效应和AB的交互作用。三、典型试题分析1完全随机设计资料的方差分析中，必然有（ ）ASS组内SS组间 BMS组间MS组内CMS总=MS组间+MS组内 DSS总=SS组间+SS组内答案：D评析 本题考点：方差分析过程中离均差平方和的分解、离均差平方和与均方的关系。方差分析时总变异的来源有：组间变异和组内变异，总离均差平方和等于组间离均差平方和与组内离均差平方差之和，因此，等式SS总=SS组间+SS组内是成立的。离均差平方和除以自由度之后的均方就不再有等式关系，因此C选项不成立。A、B选项不一定成立。D选项为正确答案。 2单因素方差分析中，当P0.05时，可认为（ ）。A各样本均数都不相等 B各总体均数不等或不全相等C各总体均数都不相等 D各总体均数相等答案：B评析 本题考点：方差分析的检验假设及统计推断。方差分析用于多个样本均数的比较，它的备择假设（H1）是各总体均数不等或不全相等，当P0.05时，接受H1，即认为总体均数不等或不全相等。因此答案选B。 3. 以下说法中不正确的是（ ）A方差除以其自由度就是均方B方差分析时要求各样本来自相互独立的正态总体C方差分析时要求各样本所在总体的方差相等D完全随机设计的方差分析时，组内均方就是误差均方 答案：A 评析 本题考点：方差分析的应用条件及均方的概念。 方差就是标准差的平方，也就是均方，因此选项A是错误的。选项B、C是方差分析对资料的要求，因此选项B和C都是正确的。在完全随机设计的方差分析中，组内均方就是误差均方，D选项也是正确的。 4. 当组数等于2时，对于同一资料，方差分析结果与t检验结果（ ） 。A.完全等价且F = t B.方差分析结果更准确 C.t检验结果更准确 D.完全等价且 答案：D 评析本题考点：方差分析与t检验的区别与联系。对于同一资料，当处理组数为2时，t检验和方差分析的结果一致且，因此，正确答案为D。 5. 完全随机设计与随机单位组设计相比较（ ）。 A.两种设计试验效率一样 B.随机单位组设计的误差一定小于完全随机设计 C.随机单位组设计的变异来源比完全随机设计分得更细 D.以上说法都不对 答案：C。 评析：本题考点：两种设计及其方差分析的区别。两种设计不同，随机区组设计除处理因素外，还考虑了单位组因素。进行方差分析时，变异来源多分解出一项：单位组间变异。因此C选项为正确答案。四、习 题（一） 名词解释 1均方 2方差分析基本思想 3总变异 4组间变异 5组内变异 6完全随机设计 7随机区组设计（二） 单项选择题1 两样本均数的比较，可用（ ）。A方差分析 Bt检验C两者均可 D方差齐性检验2配伍组设计的方差分析中，配伍等于（ ）。A总-误差 B总-处理C总-处理+误差 D总-处理-误差 3在均数为，标准差为的正态总体中随机抽样，（ ）的概率为5%。 A1.96 B C D. 4当自由度（1,2）及显著