高等数学（二）习题库鲜思东 李红刚 张一进重庆邮电学院计算机学院2004年7月说 明根据：（1）“大纲”、“计划”要求和教材内容；（2）学生学习实际，多层次能力设计，满足后继课学习需要；（3）教学实践；（4）提高学生考研成绩。我们特编写和制作了高等数学（二）的教学辅导资料。本资料的特点：（1）系统性强，适合学生建立全面系统的知识网络；（2）突出方法描述，适合训导学生建立分析思维；（3）注意基本能力培养，适合学生注重基本知识、基本方法的学习和掌握；（4）选题层次要求清晰，适合学生按自己的专业特点和自己学习目标选择学习内容和习题内容；（5）设问和答疑，注重训导学生对方法、实际背景、激发创造思维；（6）习题解答程度适当，训导学生动手、动脑 ，选题按内容、难度分层次、一般题目无解答过程，只提供可能的参考解法；有一定难度的题目，给出主要解答；对于富于创造性思维、难度较高的问题，给出比较详尽的解答。从而使我们的参考教材具有广泛的适用性、理论上的完备性、应用方面的灵活性，在实践中定能认真负责地帮助学生增强学习兴趣，丰富学习方法，提高学习的效果。第一章 映射，极限，连续习题一 集合与实数集基本能力层次：【1.1-A1-3】1：已知：A，B=.求：AB,AB,AB,BA解：ABA； ABB; AB=0; BA= ；分析：因为 【1.1A2-1】2: 已知：Ax|1x2x|5x63,B=y|2y3 求：在直角坐标系内画出 AB解：如图所示AB（x,y）| .【1.1-A5】3：证明： P为正整数，p2n或p2n+1，当p2n+1时，p24n2+4n+1，不能被2整除，故p2n。即结论成立。基本理论层次：【1.1-A6】4：证明：设p，q为数集A的上确界，且pq。 设 pq，取，N时,就有有定义变知成立8：求下列数列的极限（1） （2）（3）（4） （5） （）解：（1） ,又,所以 , 故：0（2）由于又因为：,所以：（3）因为：所以：（4） 因为：，并且, 故由夹逼原理得 （5）当a1时,结论显然成立. 由二项式公式得： 同理：当时，由于可得 9: 证明：由二项式定理,又因为：）故：所以：10：证明:因为：N, 从而有故：N+,并且：+111：12：证明：因为对于，取m2n，由于13：解：14：解：15：证明：16： 17：证：设x0。按定义：1819：得：20：解：由于21：解：22：解：故：23：24：25：26：27：28：29：30：判断题：1：2：3： 4： 50 分析能力层次12：3：4：5：习题三 无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限基本能力层次1设问：当时是无穷小吗？是无穷大吗？为什么？2两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明.3将表示成一个常数与无穷小之和： (1) ， 当 (2) ， 当 . 4.证明：函数在区间上无界，但当时，这函数不是无穷大.5求下列极限：（1）; (2); (3) ； (4); (5) ； (6);（7）； (8),；(9)； （10）；(11)； (12)；（13）； (14)； (15)； (16).6若 ,试求与.7计算下列极限： （1）； (2)； (3)； (4) ； (5), (x为不等于零的常数)； （6） ； (7).8.计算下列极限：（1） ,(k为正整数)； （2）； (3)； (4)；(5).9若,试求a 的值（a为正整数）.10利用极限存在准则证明：（1），的极限存在（a0）；（2）.基本理论层次1：解： 同理：（3），（4）2：3：解：由：得：则：分析能力层次习题四 无穷小的比较、函数的连续及性质基本能力层次1当时,与相比,哪一个是高阶无穷小？2.当时， 和 (1) ,(2) 是否同阶？是否等价？3证明：当时,有sec x-1x.4.求下列极限：（1）； (2),（n，m 为正整数）；(3).5证明：, (x0).6研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：（1） ; (2).7.求下列函数的间断点，并指出其类型:（1） ; (2) ;(3) ; (4) ;（5）.8. 设（a，b是常数）:问a，b为何值时，在连续？9证明：若函数在点连续且,则存在的某一邻域,当 时，.10求函数的连续区间，并求极限,及.11.求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.12.设函数 求a、b的值，使函数在（-，+）内连续.13证明方程在区间内至少有一个根.14.证明：设在(-,+)内连续，是方程的两个相邻的根,若存在使 (或),则对任一都有(或).15.若在上连续,则在上必有使.16.证明：若在(-,+)内连续，且存在，则必在(-内有界.基本理论层次1：2：证明：因为从而，3：（1）（2）（3）4：5：6：7： 8：（a）（d）分析能力层次（略）综合练习题基本能力层次1在“充分”、“必要”和“充要”三者中选择一个正确的填空：(1)在的某一去心邻域内有界是存在的 条件；(2)是在的某一去心邻域内无界的 条件；(3)函数在点左、右极限都存在且相等是它在该点有极限的条件 ；(4)若时，有，则是在过程中为无穷小的条件 ；(5)函数在点处有定义是它在该点连续的条件 ；(6)函数在区间上连续是在上有最大值和最小值的条件 .2填空：(1)已知,则 的定义域为 ;(2) ;(3) ;(4)若在(-上连续，则