分享智慧泉源 智爱学习 传扬爱心喜乐高中数学教程双曲线的几何性质（1）目标：1能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；2掌握双曲线的渐近线的概念和证明；3明确双曲线方程中的几何意义；4能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。重、难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。 （一）复习：1双曲线的定义和标准方程； 2椭圆的性质；（二）新课讲解：以双曲线标准方程为例进行说明。1范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 的外侧。注意：从双曲线的方程如何验证？从标准方程可知，由此双曲线上点的坐标都适合不等式即，即双曲线在两条直线的外侧。2对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。3顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。4渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。在初中学习反比例函数时提到x轴y轴都是它的渐近线。高中三角函数，渐近线是。所谓渐近，既是无限接近但永不相交。那么如何证明这个无限接近但永不相交？思考：从哪个量上反映“无限接近但永不相交”？距离。只要证明什么？距离趋向于0.下面证明，取第一象限内的部分进行证明。（见课本）求法：求已知双曲线的渐近线方程：令右端的1为0，解出的直线方程即为双曲线的渐近线方程。5等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 定义式：2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： 当时交点在轴，当时焦点在轴上。6注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。通过分析曲线的方程，发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。1）性质：共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。2）如何确定双曲线的共轭双曲线？将1变为。3）共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征？可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上。4）与双曲线有同一对渐近线的双曲线的方程可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上。（三）例题分析：例1求双曲线的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程。解：把方程化标准方程：，由此可知，实半轴长，虚半轴长；，焦点的坐标是渐近线方程为，即。例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如左图），它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到）。解：如图（右图），建立坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合；这时，上、下口的直径平行于轴，且，；设曲线的方程为：令点的坐标为，则点的坐标为，因为点在双曲线上，所以 化简，得 解得所求双曲线的方程为：。例3求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的方程。解：与双曲线有共同渐近线故设所求双曲线的方程为又过点 所求双曲线的方程为即。补充：求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的方程。2课题：双曲线的几何性质（2）目标：1. 巩固双曲线的几何性质；2. 能熟练地利用双曲线的性质求双曲线的标准方程。重、难点：几何性质的运用。教程：（一）复习：1双曲线的几何性质：范围；对称性；顶点；渐近线；离心率。2练习：双曲线的实轴长等于 ，虚轴长等于 ，顶点坐标为 ， 焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，离心率等于 （若方程改为呢？）（二）新课讲解：例1求证：双曲线（）与双曲线有共同的渐近线。解：若，则双曲线方程可化为，渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，两双曲线渐近线相同；若，则双曲线方程可化为，渐近线方程为，即，又双曲线的渐近线方程为，两双曲线渐近线相同，所以，原命题结论成立。说明：与双曲线（）有共同渐近线的所有双曲线方程为（）【练习】与双曲线有共同的渐近线且经过点的双曲线方程是例2求中心在原点，一条渐近线方程为，且一焦点为的双曲线标准方程。解：（方法一）设双曲线的标准方程为，双曲线准线方程为， 又焦点，由得。双曲线方程为：。方法二：由题意，可以设双曲线方程为：焦点为， ， ，双曲线方程为：。例3已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为12，求它的标准方程。解：由题意，可以设双曲线方程为当时，；当时，。所求双曲线方程为：或。五小结： 用双曲线的性质求双曲线方程。补充：1已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点，（1）求双曲线方程；（2）若点在双曲线上，求证：；（3）求的面积。3课题：双曲线的几何性质（3）目标：1能熟记双曲线的离心率、明确的几何意义；2知道双曲线的另一定义和准线的概念，能正确写出双曲线的准线方程。重、难点：双曲线的离心率和双曲线的第二定义。 教程：（一）复习：双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线。（二）新课讲解：1离心率：1）概念：双曲线焦距与实轴长之比；2）定义式：；3）范围：；4）考察双曲线形状与的关系：，因此越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。2双曲线的第二定义：例1点与定点的距离与到的距离之比为常数，求的轨迹方程。解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求点轨迹是集合 由此得：化简得：.设，就可化为：这是双曲线的标准方程，所以点的轨迹是实轴长、虚轴长分别为的双曲线。说明：此例题要求学生进一步熟悉并熟练掌握求解曲线轨迹方程的一般步骤。双曲线的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线。说明：1）其中定点焦点，定直线准线。对于来说，相对于左焦点对应着左准线相对于右焦点对应着右准线对于来说，相对于下焦点对应着下准线 相对于上焦点对应着上准线2）位置关系：3）焦点到相应准线的距离：练习：已知双曲线上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离。（答案：）3例题分析：例2双曲线的中心在坐标原点，离心率为，一条准线方程为，求双曲线的方程。解：设双曲线的方程为，由题意得 解得，双曲线的方程为。例3双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为4，且经过,求双曲线的方程。解：若焦点在轴上，则双曲线的方程设为，由已知，有 ，代入，整理得， 或，或，双曲线的方程为或，若焦点在轴上，则设双曲线的方程为，由已知，得 ，代入得，此方程无实数解。双曲线的方程为或。说明：当双曲线的焦点位置不定时，必须进行分类讨论。五课堂小结：方 程（）（）图 象关 系范 围顶 点对 称 性关于轴成轴对称、关于原点成中心对称渐 近 线离 心 率焦 点准 线补充：1求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）离心率为，准线方程为；（答案：）（2）双曲线的一条渐近线经过点，两准线间距离为。（答案：或）2已知双曲线的左、右焦点分别是，双曲线左支上有一点，设到左准线的距离为，且恰成等比数列，试求点的坐标。（选做）（答案）2Wisdom&Love 第 页（共6页）