南开大学20112012学年第2学期期末考试试卷线性代数（A卷 共5页）（考试时间：2012年6月16日）一、填空与选择(30分，每小题3分)1.设，则_.2._.3.设均为阶方阵，则有( ).(A)(B)(C)(D)4.设向量组线性无关，则的秩为_.5.设与相似，则_，_.6.设的全体特征值为，则( )为可逆矩阵.(A)(B)(C)(D)7.设为线性变换在基下的矩阵，则在基下的矩阵为_.8.设是实对称矩阵的特征向量，且，则( )也是的特征向量.(A)(B)非零(C)不全为零(D)全不为零9.实二此型有标准形( ).(A)(B)(C)(D)10.设均为阶正定矩阵，则( )不一定是正定矩阵.(A)(B)(C)(D)二、(28分，前3小题各6分，第4小题10分)1.计算阶行列式() .2.设阶方阵满足，求证可逆，并求.3.求向量组，的一个极大无关组，并用该极大无关组线性表示向量组中其他向量.4.设，其中为的伴随矩阵，试不计算与，而直接求矩阵.三、(12分)设线性方程组有解，求参数；求解线性方程组，若有无穷多解，用其特解与对应齐次线性方程组的基础解系联合表出通解.四、(10分)定义线性空间的变换如下：，.1)求证是线性变换；2)求在的基下的矩阵.五、(15分)求正交矩阵与标准形，使得二次型经过正交线性替换化为标准形.六、(5分)设矩阵的每列全体元素之和均为.1)求证是的特征值；2)设为齐次线性方程组的解向量，求证.线性代数试卷答案(120606)一、(30分，每小题3分)填空：；.选择：CCBBB.二、(28分，前3小题各6分，第4小题10分)1.2.，因而可逆，且.3.，因而是一个极大无关组，且.4.，即，因而.三、(12分)增广矩阵，因而，且通解为，其中为任意常数.四、(10=4+6分)1)，因而是线性变换.2) 因而.五、(15分)二次型的矩阵为. ，因而的全体特征值为，二次型的标准形为 .下面求正交线性替换矩阵. ，因而标准正交特征向量组为，正交线性替换矩阵为.注 属于特征值的特征向量组.六、(5=3+2分)1)，因而是的特征值.2)，即个等式相加得.4