精心整理3.2函数模型及其应用1几类不同增长的函数模型及其增长差异分别作出函数y=2x，y=log2x，y=x2在第一象限的图象如图函数y=log2x刚起先增长得最快，随后增长的速度越来越慢；函数y=2x刚起先增长得较慢，随后增长的速度越来越快；函数y=x2增长的速度也是越来越快，但越来越不如y=2x增长得快函数y=2x和y=x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)在x(2,4)时，log2x2xx2，在x(0,2)(4，+)时，log2xx24时，log2xx21)，y=logax (a1)和y=xn (n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，y=ax (a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn (n0)的增长速度，而y=logax(a1)的增长速度那么会越来越慢因此，总会存在一个x0，使当xx0时，就有logaxxn2，因而yex增长速度最快答案D2几类常见的函数模型(1)一次函数模型：f(x)kxb (k、b为常数，k0)；(2)反比例函数模型：f(x)b (k、b为常数，k0)；(3)二次函数模型：f(x)ax2bxc (a、b、c为常数，a0)；留意：二次函数模型是中学阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考察中最为常见(4)指数函数模型：f(x)abxc (a、b、c为常数，a0，b0，b1)；(5)对数函数模型：f(x)mlogaxn (m、n、a为常数，a0，a1)；说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色(6)幂函数模型：f(x)axnb(a、b、n为常数，a0，n1)；(7)分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也非常广泛3通过收集数据干脆去解决问题的一般过程如下：(1)收集数据；(2)依据收集到的数据在平面直角坐标系内描点；(3)依据点的分布特征，选择一个能刻画其特征的函数模型；(4)选择其中的几组数据求出函数模型；(5)将确定数据代入所求出的函数模型进展检验，看其是否符合实际，假设不符合实际，那么重复步骤(3)(4)(5)；假设符合实际，那么进入下一步；(6)用求得的函数模型去解决实际问题 题型一一次函数模型的应用一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都一样，问应当从报社买进多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能获得的利润解此题所给条件较多，数量关系比拟困难，可以列表分析设每天从报社买进x (250x400，xN)份报纸.数量(份)价格(元)金额(元)买进30x0.206x卖出20x102500.306x750退回10(x250)0.080.8x200设每天从报社买进x份报纸时，每月所获利润为y元，那么y(6x750)(0.8x200)6x0.8x550 (250x400，xN)y0.8x550在250,400上是增函数，当x400时，y取得最大值870.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为870元点评一次函数模型层次性不高，求解也较为简单，一般我们可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理 题型二二次函数模型的应用渔场中鱼群的最大养殖量为m (m0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量确定鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k (k0)(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群年增长量到达最大时，求k的取值范围解(1)依据题意知空闲率是，得ykx (0xm)(2)ykxx2kx2，当x时，ymax.(3)依据实际意义：实际养殖量x与年增长量y的和小于最大养殖量m，即0xym，0m，解之得：2k0，0k2.点评解题的关键在于对“空闲率”的理解，正确理解题意，养成良好的阅读习惯是胜利的一半而二次函数模型常涉及顶点坐标、函数的单调性、区间最值等问题，学会二次函数的配方是比拟有效的解题手段 题型三分段函数模型的应用某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的局部数据如下表所示：第t天4101622Q(万股)36302418(1)依据供应的图象，写出该种股票每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满意的函数关系式；(2)依据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？解(1)设表示前20天每股的交易价格P(元)与时间t(天)的一次函数关系式为Pk1tm，由图象得，解得，即Pt2；设表示第20天至第30天每股的交易价格P(元)与时间t(天)的一次函数关系式为Pk2tn，由图象得，解得，即Pt8.综上知P (tN)(2)由表知，日交易量Q与时间t满意一次函数关系式，设Qatb (a、b为常数)，将(4,36)与(10,30)的坐标代入，得，解得.所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q40t(0t30且tN)(3)由(1)(2)可得y (tN)即y (tN)当0t120，第15天日交易额最大，最大值为125万元点评分段函数及其应用问题是当前最热的函数类型，这是由分段函数的特点确定的由于分段函数兼具多种初等函数的性质，因此可以将多种函数的性质考察到，这在要求实力的高考命题中无疑是重要的命题素材题型四函数建模个体经营者把起先六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者打算下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算请你协助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下个月可获得的最大纯利润(结果保存两位有效数字)解以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中描点如图据此，可考虑用以下函数分别描述上述两组数据之间的对应关系y=-a(x-4)2+2 (a0)ybx把x1，y0.65代入式，得065a(14)22，解得a0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系式可近似地用y0.15(x4)22表示；把x4，y1代入式，得b0.25，故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系式可近似地用y0.25x表示设下个月投入A、B两种商品的资金分别是xA万元、xB万元，总利润为W万元，得，即W222.6.当xA3.2时，W取得最大值，约为4.1万元，此时，xB8.8.点评此题设计新奇，要求能对数据进展处理，在此根底上选用恰当的模型进展拟合，并对所得到的模型进展比拟，数据分析处理是在信息社会中所必需具备的一项重要的实力某公司在甲，乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2，L22x，其中x为销售量(单位：辆)假设该公司在这两地共销售15辆车，那么能获得的最大利润为()A45.606B45.6C46.8 D46.806错解设甲地销售x辆，那么乙地销售15x辆总利润LL1L25.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x300.15245.606当x10.2时，获得最大利润45.606万元错因分析上面解答中x10.2不为整数，在实际问题中是不行能的，因此x应依据抛物线取与x10.2接近的整数才符合题意正解设甲地销售x辆，那么乙地销售(15x)辆，那么总利润LL1L25.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x300.15(x10.2)245.606.依据二次函数图象和xN*，当x10时，获得最大利润L0.151023.06103045.6万元正确答案B本节考察的重点是用函数来解决实际问题，解答这类问题的关键是学会阅读、理清线索、细致视察图表，并熟识各种函数模型，能结合所学数学学问、思想方法解决问题(2007湖北)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进展消毒确定药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=()(a为常数)如下图依据图中供应的信息，答复以下问题：(1)从药物释放起先，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放起先，至少须要经过小时后，学生才能回到教室解析(1)设y=kt (k0)，由图象知y=kt过点(0.1,1)，那么1=k0.1，k=10，y=10t (0t0.1)；由y=过点(0.1,1)得1=，a=0.1，y= (t0.1)(2)由0.25=，得t0.6，故至少需经过0.6小时答案(1) y=(2)0.61某人骑自行车沿直线匀速行驶，从前进了a千米，休息了一段时间，又沿原路返回b千米(ba)，再前进c千米，那么此人离