姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： 离散数学形成性考核作业4离散数学综合练习书面作业要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅2. 在线提交word文档3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传一、公式翻译题 1请将语句“小王去上课，小李也去上课”翻译成命题公式 答：设P：小王去上课。Q：小李去上课。则命题公式为：PQ 2请将语句“他去旅游，仅当他有时间”翻译成命题公式答：设P：他去旅游。Q：他有时间。则命题公式为：PQ 3请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式答：设A(x)：x是人 B(x)：去工作则谓词公式为：x(A(x)B(x) 4请将语句“所有人都努力学习”翻译成谓词公式答：设A(x)：x是人 B(x)：努力学习则谓词公式为：x(A(x)B(x)二、计算题1设A=1,2,1,2，B=1,2,1,2，试计算（1）(A-B)； （2）(AB)； （3）AB解：(1)A -B =1,2(2)AB =1,2(3)AB=,2设A=1，2，3，4，5，R=|xA，yA且x+y4，S=|xA，yA且x+y0，试求R，S，RS，SR，R-1，S-1，r(S)，s(R) 解：R=,S=空集RS=空集SR=空集R-1=,S-1=空集r(S)=s(R)= 3设A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R是A上的整除关系，B=2, 4, 6(1) 写出关系R的表示式； (2) 画出关系R的哈斯图； (3) 求出集合B的最大元、最小元 解：(1) R=(2) R的哈斯图为：(3) 集合B没有最大元，最小元是24设G=，V= v1，v2，v3，v4，v5，E= (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) ，试(1) 给出G的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵；(3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形解：（1）G的图形为：（2）邻接矩阵为：（4） 补图为：（3） v1结点度数为1，v2结点度数为2，v3结点度数为3，v4结点度数为2，v5结点度数为2：5图G=，其中V= a, b, c, d, e，E= (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) ，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G的图形； （2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值解：（1）G的图形：（2）邻接矩阵：（3）最小生成树及权值6 设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权解：二叉树如下（方形为给定权）：权：2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=1317 求PQR的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式解：PQR RQR取范式、合取范式、主合取范式都为：RQR主析取范式为：（PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)8设谓词公式（1）试写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元答：（1）量词x的辖域为：P(x,y)(z)Q(y,x,z)量词z的辖域为：Q(y,x,z)量词y的辖域为：R(y,z)（2）P(x,y)中的x是约束变元，y是自由变元Q(y,x,z)中的x和z是约束变元，y是自由变元R(y,z)中的z是自由变元，y是约束变元 9设个体域为D=a1, a2，求谓词公式(y)($x)P(x,y)消去量词后的等值式；答：(y)($x)P(x,y) =$xP(x, a1)$xP(x, a2)= (P(a1,a1)P(a2,a1)(P(a1,a2)P(a2,a2)三、证明题 1对任意三个集合A, B和C，试证明：若AB = AC，且A，则B = C证明：(1)对于任意AB,其中aA,bB,因为AB= AC,必有AC,其中bC因此BC(2)同理,对于任意AC,其中,aA,cC,因为AB= AC，必有AB,其中cB,因此CB由(1)(2)，得B=C。2试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则RS也是集合A上的自反关系证明：若R与S是集合A上的自反关系,则任意xA,R,S,从而RS,注意x是A的任意元素,所以RS也是集合A上的自反关系.3设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加条边才能使其成为欧拉图证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图故最少要加k/2条边到图G才能使其成为欧拉图 4试证明 (P(QR)PQ与 (PQ)等价证明： (P(QR)PQ(P(QR)PQ(PQR)PQ(PPQ)(QPQ)(RPQ)(PQ)(PQ)(PQR)PQ (PQ)5试证明：(AB)(BC)C A证明： (AB)(BC)C(AB)(BC)C(AB)(BC)(CC)(AB)(BC)(A(BC)(B(BC)A(BC)(ABC)所以左边不能推出右边的“A”