习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界：(1) (x,y)|x0;(2) (x,y)|1x2+y24;(3) (x,y)|yx2;(4) (x,y)|(x-1)2+y21(x,y)|(x+1)2+y21.解：(1)开集、无界集，聚点集：R2，边界：(x,y)|x=0.(2)既非开集又非闭集，有界集,聚点集：(x,y)|1x2+y24，边界：(x,y)|x2+y2=1(x,y)| x2+y2=4.(3)开集、区域、无界集，聚点集：(x,y)|yx2，边界：(x,y)| y=x2.(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，边界：(x,y)|(x-1)2+y2=1(x,y)|(x+1)2+y2=1.2. 已知f(x,y)=x2+y2-xytan,试求.解：3. 已知,试求解：f(x+y, x-y, xy) =(x+y)xy+(xy)x+y+x-y =(x+y)xy+(xy)2x.4. 求下列各函数的定义域：解：5. 求下列各极限：解：(1)原式=(2)原式=+.(3)原式=(4)原式=(5)原式=(6)原式=6. 判断下列函数在原点O(0，0)处是否连续：(3) 解：(1)由于又，且,故.故函数在O(0,0)处连续.(2)故O(0,0)是z的间断点.(3)若P(x,y) 沿直线y=x趋于(0，0)点，则,若点P(x,y) 沿直线y=-x趋于(0，0)点，则故不存在.故函数z在O(0，0)处不连续.7. 指出下列函数在向外间断：(1) f(x,y)=;(2) f(x,y)=;(3) f(x,y)=ln(1x2y2);(4)f(x,y)=解：(1)因为当y=-x时，函数无定义，所以函数在直线y=-x上的所有点处间断，而在其余点处均连续.(2)因为当y2=2x时，函数无定义，所以函数在抛物线y2=2x上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x2+y2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x2+y2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.(4)因为点P(x,y)沿直线y=x趋于O(0,0)时.故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续.8. 求下列函数的偏导数：(1)z=x2y+;(2)s=;(3)z=xln;(4)z=lntan;(5)z=(1+xy)y;(6)u=zxy;(7)u=arctan(x-y)z;(8).解：(1)(2) (3)(4) (5)两边取对数得故 (6)(7)(8)9.已知，求证：.证明： .由对称性知 .于是 .10.设，求证：.证明： ,由z关于x,y的对称性得故 11.设f(x,y)=x+(y-1)arcsin，求fx(x,1) .解：则.12.求曲线在点（2，4，5）处的切线与正向x轴所成的倾角.解：设切线与正向x轴的倾角为,则tan=1. 故=.13.求下列函数的二阶偏导数：(1)z=x4+ y4-4x2y2;(2)z=arctan;(3)z=yx;(4)z=.解：(1)由x,y的对称性知(2)，(3)(4)14.设f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2,求解：19315.设z=xln(xy)，求及.解：16.求下列函数的全微分：(1);(2);(3);(4).解：(1)(2) (3)(4)17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分：(1)(2)解：(1)(2)18.利用全微分代替全增量，近似计算：(1) (1.02)3(0.97)2;(2);(3)(1.97)1.05.解：(1)设f(x,y)=x3y2，则故df(x,y)=3x2y2dx+2x3ydy=xy(3xydx+2x2dy)取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03，则(1.02)3(0.97)2=f(1.02,0.97)f(1,1)+df(1,1)=1312+113110.02+212(-0.03)=1.(2)设f(x,y)=,则故取,则(3)设f(x,y)=xy,则df(x,y)=yxy-1dx+xylnxdy，取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,则19.矩型一边长a=10cm，另一边长b=24cm,当a边增加4mm，而b边缩小1mm时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l，则当x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1时，(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm.20. 1mol理想气体在温度0和1个大气压的标准状态下，体积是22.4L，从这标准状态下将温度升高3，压强升高0.015个大气压，问体积大约改变多少？解：由PV=RT得V=，且在标准状态下，R=8.2056810-2,Vdv=-=故体积改变量大约为0.09.21. 测得一物体的体积V=4.45cm3,其绝对误差限是0.01cm3，质量m=30.80g，其绝对误差限是0.01g，求由公式算出密度的绝对误差与相对误差.解：当V=4.45，m=30.80,dv=0.01,dm=0.01时,当v=4.45, m=30.80时.22. 求下列复合函数的偏导数或全导数：(1)求,；（2） z,xuv,yuv,求,；（3） ,yx3,求;（4） ux2y2z2, x,y,z,求.解：（1）(2)(3)(4).23. 设f具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数：(1)(2)(3)解：(1)(2)(3)24.设为可导函数，证明：证明:故25. 设，其中f(u)为可导函数，验证：.证明： ,26. ,其中f具有二阶导数，求解：由对称性知，27. 设f是c2类函数，求下列函数的二阶偏导数：(1)(2)(3)解：(1),(2)(3)28. 试证：利用变量替换,可将方程化简为 .证明：设故29. 求下列隐函数的导数或偏导数：(1)，求;(2)，求；(3)，求;(4)，求.解：(1)解法1 用隐函数求导公式，设F(x,y)=siny+ex-xy2,则 故 .解法2 方程两边对x求导，得故 (2)设(3)方程两边求全微分，得则 故 (4)设,则 30. 设F(x,y,z)=0可以确定函数x=x(y,z),y=y(x,z),z=z(x,y),证明：.证明：31. 设确定了函数z=z(x,y),其中F可微，求.解：32. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：(1) 求：(2) 求： (3) 其中f,g是类函数，求(4) 求解：(1)原方程组变为方程两边对x求导，得当 (2)设故 (3)设则 故 (4)是已知函数的反函数，方程组两边对x求导，得整理得 解得 方程组两边对y求导得整理得 解得 33. 设，试求解：由方程组可确定反函数，方程组两边对x求导，得解得 所以 方程组两边对y求导，得解得 所以 .34. 求函数在(2，-1)点的泰勒公式.解：故35. 将函数在(1,1)点展到泰勒公式的二次项.解：