第八章 多元函数微分法及其应用(A)1填空题(1)若在区域上的两个混合偏导数， ，则在上， 。(2)函数在点处可微的 条件是在点处的偏导数存在。(3)函数在点可微是在点处连续的 条件。2求下列函数的定义域(1)；(2)3求下列各极限(1)； (2)； (3) 4设，求及。5求下列函数的偏导数(1)；(2)；(3)。6设，求全导数。7设，求。8曲线，在点(2,4,5)处的切线对于轴的倾角是多少？9求方程所确定的函数的偏导数。10设，求所有二阶偏导数。11设是由方程确定的隐函数，求，。12设，求。13设是由方程确定的隐函数，求，。14设，求全微分。15求函数在点的全微分。16利用全微分求的近似值。17求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平面方程。18求曲面上点处的切平面方程和法线方程。19求曲线，上点，使在该点处曲线的切线平行于平面。20求函数的极值。21求函数的极值。22要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？ (B)1求下列函数的定义域(1)；(2)2(1)设，求，。 (2)设，求3求下列函数的极限(1)；(2) 4设，问是否存在？5讨论函数的连续性，其中。6二元函数在点处：连续，偏导数存在；连续，偏导数不存在；不连续，偏导数存在；不连续，偏导数不存在。7设，求，。8设，求，。9设，求，。10设，可微，求。11设，求，。12设，求。13设可微，求全微分。14设是由方程所确定的隐函数，其中具有连续的偏导数，求，并由此求和。15求的偏导数。16设，求，。17设，求。18求函数在点处沿从点到点方向的方向导数。19求函数在点沿，在此 点的切线方向上的方向导数。20求函数在点处沿方向的方向导数。21判断题：(简单说明理由)(1)就是在处沿轴的方向导数。 (2)若在处的偏导数，存在，则沿任一方向的方向导数均存在。22证明曲面上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。23证明：球面：上任意一点处的法线都经过球心。24求椭球面上的一点处的切平面与平面的交角。25设，都是，的函数，的各偏导数都存在且连续，证明： 26问函数在处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。27求内接于椭球面的最大长方体的体积。28某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入与报纸广告费及电视广告费(单位：万元)之间的关系有如下经验公式：，在限定广告费为1.5万元的情况下，求相应的最优广告策略。29求函数的阶麦克劳林公式，并写出余项。30利用函数的2阶泰勒公式，计算的近似值。 (C)1证明。2设，其中在点，邻域内连续，问(1)在什么条件下，偏导数，存在；(2)在什么条件下，在处可微。3设而为由方程所决定的函数，且是可微的，试求。4设由确定，求。5从方程组中求出，。6设，且，试确定常数，使函数能满足方程：。7证明：旋转曲面上任一点处的法线与旋转轴相交。8试证曲面()上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于。9抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。10设轴正向到方向的转角为，求函数在点沿方向的方向导数，并分别确定转角，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。第八章 多元函数微分法及其应用(A)1填空题(1)若在区域上的两个混合偏导数， 连续 ，则在上， 。(2)函数在点处可微的 必要 条件是在点处的偏导数存在。 y O (0,1) x图1(3)函数在点可微是在点处连续的 充分 条件。2求下列函数的定义域(1)解：设定义域为，由和，即，得，如图1所示(2)解：设定义域为，由，即，不同时为零，且，即 ，得。3求下列各极限(1) (2)解：原式 解：原式 (3) 解：原式 4设，求及解：，5求下列函数的偏导数(1)解： 类似地(2)解： 同理可证得：(3)解： 6设，求全导数。解：， ， 依复合函数求导法则，全导数为 7设，求。解： 8曲线，在点(2,4,5)处的切线对于轴的倾角是多少？解：，故。9求方程所确定的函数的偏导数。解：关于求导，得到，即关于求导，有，即。10设，求所有二阶偏导数。解：先求一阶偏导数，得，再求二阶偏导数，得 ， ， ， 11设是由方程确定的隐函数，求，。解一：记，则 ， 当时，便得， 。解二：（提示）直接对方程两边求偏导数，并明确是、的函数，即可得，。12设，求。解：令，则，则 。13设是由方程确定的隐函数，求，。解：方程两边对求偏导数，有 ，即 解得 类似地，方程两边对求偏导数，解得 再求二阶混合偏导数，得 把上述的结果代入，便得：。14设，求全微分。解：由于，所以全微分为 。15求函数在点的全微分。解：， 所以。16利用全微分求的近似值。解：设，则全微分 由近似关系，得 上式中取，得 因此，所求近似值。17求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平面方程。解：交线方程，只要取作参数，得参数方程： 则有，于是交线在点处的切线向量为。切线向量为法平面方程为，即。18求曲面上点处的切平面方程和法线方程。解：记，则，于是曲面在点处的法线向量为从而，切平面方程为，即，法线方程为。19求曲线，上点，使在该点处曲线的切线平行于平面。解：曲线在点处的切线方程为又切线与平面平行，即切线的方向向量和平面的法向量垂直，应有，即，得所以点的坐标为。20求函数的极值。解：解方程组，求得驻点，由于，所以在点处，函数取得极大值，极大值为。21求函数的极值。解：解方程组，得驻点。由于，在点处，所以函数在点处取得极小值，极小值为。22要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？解：设水池的长为米，宽为米，高为米，则材料造价为，(，)，且，必须满足， 从解出代入，得，(，)，于是问题就成为求当，时的最小值，由极值的必要条件，有解此方程组得。据题意存在最小造价，而，是唯一驻点，所以当，时，水池的材料造最小。(B)1求下列函数的定义域(1)解：设定义域。使有意义的区域为：，即，使有意义的区域为：，即。故定义域。如图2 (2)解：设定义域为。由根式性质可知，必须，且，即或解得：0 0 1 y y 1.5 x x 3 0图2。如图32(1)设，求，。解：设，则得由此从而(2)设，求解：.3求下列函数的极限(1)解：原式(2) 解：原式4设，问是否存在？解：取沿直线的途径，当时，有，沿抛物线的途径，当时，有可见，沿两条不同的途径，函数的极限不同，故极限不存在。5讨论函数的连续性，其中。解：在处，所以在处连续若，则取路径，则因此，间断点为直线，除以外的其他点。6二元函数在点处：连续，偏导数存在；连续，偏导数不存在；不连续，偏导数存在；不连续，偏导数不存在。解：应选事实上，由于，随的值不同而改变，所以极限不存在，因而在点处不连续，又，类似地，所以在处的偏导数存在。7设，求，。解：令，于是，得，。8设，求，。解：，。9设，求，。解：，。10设，可微，求。解：，先求，所以。11设，求，。解：关于求导，而，得即 (*)得：相仿地，可得。12设，求。解：令，于是在处。13设可微，求全微分。解： 。14设是由方程所确定的隐函数，其中具有连续的偏导数，求，并由此求和。解：方程两边求全微分，得，即，即 ，当时，解出 由此得到，。15求的偏导数。解：令，则，是，的复合函数。，于是，16设，求，。解：所给方程组确定两个一元隐函数：和，将所给方程的两边对求导，得在的条件下，。17设，求。解：， .18求函数在点处沿从点到点方向的方向导数。解：，,，。因为 所以。19求函数在点沿，在此 点的切线方向上的方向导数。解：因曲线过点，所以，切线的方向余弦为，又，类似地，故。20求函数在点处沿方向的方向导数。解：，由，曲面的外侧法线向量为则 。21判断题：(简单说明理由)(1)就是在处沿轴的方向导数。解：错。因前者是双侧极限，后者是单侧极限。(2)若在处的偏导数，存在，则沿任一方向的方向导数均存在。解：错。由于偏导数仅刻画了在处沿轴或轴的变化率，要确定函数处沿任一方向的变化率，还应要求此函数在处可微。22证明曲面上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。证：令。由于曲面的法向量是，故曲面上任一点处法线方向向量为，设为点处切平面上任一点，则切平面方程为，即，其截距式为，由此得截距的平方和为：。23证明：球面：上任意一点处的法线都经过球心。证：令，则，法线方程为：，于是任一法线都过原点。