某某大学学士学位论文 论文题目: 求解高次方程的历史研究 院(部)名 称: 信息与计算科学 学 生 姓 名: 专 业: 信息与计算科学 学 号: 指导教师姓名: 论文提交时间: 论文答辩时间: 学位授予时间: 北方民族大学教务处制摘要高次方程的求解是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于数学和其他学科领域。在国防、科研、学术、工程很多领域往往都需要求解高次方程的解或确定多项式的零点等。本文在前人的研究的基础上，以求解高次方程的发展时间的顺序为主线，对高方程的求解进行了全面的分析与研究。简单介绍了一次方程的发展理论，简单回顾了一下我们初中时学过的一元二次方程求解的几种方法，因式分解法、开平方法、配方法、公式法、介绍了不是很常用的三次及四次方程的求解公式，论述了各国数学家对二次方程求解到五次方程求解的漫长过程，重点研究了五次及以上方程的解法，介绍了五次方程的解法和伽罗瓦理论研究。数学思想对数学研究和发展的作用是巨大的，数学思想如同数学的概念、定理、法则一样是数学史上的宝贵财富，并且是数学知识所不能代替的。关键词 高次方程 ， 伽罗瓦理论 ，近似解 ，数学思想ABSTRCT Solving equation of higher degree is an important part of algebra, widely used in mathematics and other disciplines. In many fields of national defense, scientific research, academic, engineering often requires the solution of high-order equation or polynomial. In this paper, based on the previous studies, the development time for solving equations of higher order as the main line, a comprehensive analysis and Research on Gao Fangchengs solution. Introduces an equation of the development theory, a brief review of our junior high school when the school had a two order equation solving methods, the factorization method, the Kaiping method, method, formula method, introduces the calculation formula is not very common three times and four times of equation, discusses the mathematicians the two equations to five equations to solve the long process, focus on the solution of five and above equations, introduces the five equations and Galois theory. Role of mathematics thought and mathematics research and development is enormous, mathematical thought as mathematical concept, theorem, law is the valuable wealth of history of mathematics, and mathematics knowledge cannot replace.目录第一章一到四次方程的解法11.1一元二次方程的几种解法11.2一般三次方程的求根公式21.3一般四次方程的求根公式5第二章五次及以上的方程的解法72.2能用根式求解的五次方程9第三章从五次根式求解到伽罗瓦理论及其数学研究153.1提出五次方程求根公式153.2拉格朗日疑怀疑求根公式的存在性163.2阿贝尔提出高于四次的方程不能用根号求解163.2.1高次方程不都是代数可解的163.2.2阿贝尔的后续研究173.2.3伽罗瓦群论创建的群173.2.4伽罗瓦群论的证明思路173.2.5伽罗瓦群论的深远影响183.3伽罗瓦群论的数学哲学意蕴19结论.19参考文献 . 20致谢 .20第一章 一到四次方程的解法1.1一元二次方程的几种解法定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，任何关于x的一元二次方程，经过变形整理，都可以化成一元二次方程根的解法：a) 因式分解法是最常用的方法。一般情况下，如果一元二次方程中等号左边的部分比较容易分解，那么优先选用因式分解法。b) 开平方法适用于形如的形式的一元二次方程，解时先将其变形为的形式，再利用平方根的定义解答。c) 配方法d) 公式法是一种“万能”方法，在因式分解法不能轻易奏效时，往往用公式法。使用该法，要先将方程整理成的一般形式。 求根公式：（注意a、b、c的符号）一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）： 16 一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0；0）： (韦达定理)一元二次方程应用题得到的两个根，要从实际意义的角度进行检验，舍去不合题意的根。 1.2一般三次方程的求根公式 一般三次方程的求根公式为是否有根，其中的，均为常数，且0。 十九世纪前，解方程一直是数学中的一个中心问题之一，早在3000多年以前，古巴比伦就已经掌握了使用配方法求解一元二次方程。但是由于当时还没有系统地把符号引进代数学中，而且当时人们还不知道零、负数以及复数等概念，所以并没有出现所谓的求根公式。接下来，人们自然要研究如何解一元三次方程，但是直到100年以前，除了特殊的情况外，数学家们对三次方程有没有解决的办法，有的人甚至宣布一般的三次方程没有办法求解。 意大利的数学家首先在该问题上取得了突破。在1500年左右，意大利伯伦亚大学的数学教授费罗（S。Ferro，14651526）把所有的三次方程简化成下述三种类型，其中p，q均为正数。在这里面需要说明的是，由于当时负数的概念没有被广泛的接受，人们就把上面三个方程分别加以研究。事实上，费罗解出了所有形如（其中p，q为正数）的三次方程，但是没有发表他的解法，在1510年左右秘密地传给了他的学生费奥尔（A。M。Fior）等少数人这是因为在16世纪和17世纪人们经常把自己的数学发现秘而不宣，借此向对手们提出挑战。1530年，意大利北部布利西亚的塔尔塔利亚（Tartaglia，14991557）重新发现了费罗的方法，并称他已经解决了（其中p，q为正数）这种类型的三次方程。塔维塔利亚出身贫寒，靠自学掌握了很多的数学知识。他在意大利的很多地方讲授科学知识，而且以此谋生。其实，他的真名是N。Fontana，塔尔塔利亚事实他的一个外号，意思是“口吃者”。这是因为他在小时候被一个法国的士兵砍伤了脸部造成了口吃，大家就习惯叫他的外号，就忘了他的真名，他人很洒脱，干脆就把“塔尔塔利亚”当成自己的名字，而且还以塔尔塔利亚为名发表论文和出版书籍。1535年，当费奥尔听说塔尔塔利亚能解出三次方程时，立即向除他提出了挑战，并要求公开进行公开竞赛，比赛时双方各出三十个求解三次方程的题目，但是塔尔塔利亚解出了费奥尔的全部题目，而费奥尔对塔尔塔利亚提出的许多形如的方程却一筹莫展，根本纠结不出来，塔尔塔利亚大获全胜，而且从此名声大噪。意大利帕维亚的卡当（J。Cardon，15011576）是一位业余数学家，对于代数方程的求解也有着浓厚的兴趣，曾经多次恳求塔尔塔利亚告诉他解三次方程的解法，而且发誓为此保密，。1539年，塔尔塔利亚终于禁不住卡当的再三请求，把他自己的解法写出了一首枯涩难懂的诗告诉了卡当，没有想到卡当没有履行自己的诺言，在1545年出版的数学名著大法中，公布了三次方程的求解公式，当然，卡当也做出了自己的贡献，他把卡尔卡利亚的方法进行了推广，得出了三次方程的一般解法，而且补充了很多的几何证明。塔尔塔利亚为此非常难过的气愤，抗议卡当的背信弃义，并和卡当的学生费拉里（L。Ferrari，15221565）公开发生了争吵，双方甚至相互谩骂。有趣的是卡当自己对此始终保持沉默，没有参与其中。由于大法一书在当时影响深远，被视为16世纪最重要的数学著作，由此三次方程的解法至今仍以“卡当公式”而著称于世。到了1732年，大数学家欧拉最卡当的三次方程解法做了完整的论述，强调了三次方称总有一个根，具体做出了根的求法。按照欧拉的整理，下面对卡当公式加以简介。 为了求解一般三次方程，其中首先通过一个代换可以消去二次项，得到一个关于y的三次方程 所以，一般三次方程的求解问题可以归结为下述不含二次项的三次方程： （1）为了求解方程（1），可令，则方程（1）化为 两边同时乘以，得到一个关于z的六次方程 （2）把方程（2）看成的二次方程，根据一元二次方程的求根公式可得： (3) 现在再设为三次本源单位根，即1， ，为的全部根。再令， 这里注意的是，由于复数开立方取值不定，每一个非零负数都有三个不同的立方根，所以，均表示均取一个立方根即可。为了简化计算，做一个约定：因为，恰为方程（2）关于的一元二次方程的两个根，由于二次方程根与系数的关系可知,故可以进一步选取和使得。于是从方程解出以及时可以分别求出x的三个值为同理，当时，由代换分别求出x的三个解显然与上述三个解相同。也就是说，上述z的6个值只能给出x的3个值它们为三次方程（1）的全部根。如果把和的根式表示代入中，则三次方程的求根公式。由此可以回答此类问题：类似一元二次方程有求根公式，一般一元三次方程也有求根公式。 上述给出了求解一般三次方程的方法，但是关于三次方程的方法，但是关于三次方程的内容还有很多。，类似一元二次方