经济数学基础第一部分 微分学一、单项选择题1函数的定义域是（ 且）2若函数的定义域是0，1，则函数的定义域是( )3下列各函数对中，（ ，）中的两个函数相等 4设，则=（） 5下列函数中为奇函数的是（） 6下列函数中，（不是基本初等函数 7下列结论中，（奇函数的图形关于坐标原点对称）是正确的 8. 当时，下列变量中（ ）是无穷大量 9. 已知，当（ ）时，为无穷小量.10函数 在x = 0处连续，则k = (1) 11. 函数 在x = 0处（右连续 ）12曲线在点（0, 1）处的切线斜率为（ ） 13. 曲线在点(0, 0)处的切线方程为（y = x ）14若函数，则=（ ）15若，则（ ）16下列函数在指定区间上单调增加的是（e x）17下列结论正确的有（x0是f (x)的极值点） 18. 设需求量q对价格p的函数为，则需求弹性为Ep=（ ） 二、填空题1函数的定义域是-5，22函数的定义域是(-5, 2 )3若函数，则4设函数，则5设，则函数的图形关于y轴对称6已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.67已知某商品的需求函数为q = 180 4p，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 45q 0.25q 28. 1.9已知，当 时，为无穷小量 10. 已知，若在内连续，则2 .11. 函数的间断点是12函数的连续区间是，13曲线在点处的切线斜率是14函数y = x 2 + 1的单调增加区间为(0, +)15已知，则= 016函数的驻点是17需求量q对价格的函数为，则需求弹性为18已知需求函数为，其中p为价格，则需求弹性Ep = 三、极限与微分计算题1解 = = = 2解：= = 3解 = =22 = 4 4解 = = = 2 5解 6解 = =7解：(x)= =8解 9解 因为 所以 10解 因为 所以 11解 因为 所以 12解 因为 所以 13解 14解： 15解 在方程等号两边对x求导，得 故 16解 对方程两边同时求导，得 =.17解：方程两边对x求导，得 当时， 所以，18解 在方程等号两边对x求导，得 故 四、应用题1设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：（1）当时的总成本、平均成本和边际成本； （2）当产量为多少时，平均成本最小？1解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：， 所以， ， （2）令 ，得（舍去）因为是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当20时，平均成本最小. 2某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为（为需求量，为价格）2解 （1）成本函数= 60+2000 因为 ，即， 所以 收入函数=()= （2）因为利润函数=- =-(60+2000) = 40-2000 且 =(40-2000=40- 0.2令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定义域内的唯一驻点所以，= 200是利润函数的最大值点，即当产量为200吨时利润最大3设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元又已知需求函数，其中为价格，为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？3解 （1）C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400p R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2 利润函数L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000，且令 =2400 8p = 0得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大. （2）最大利润 （元）4某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？4解 （1）由已知利润函数 则，令，解出唯一驻点.因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， （2）最大利润为 （元）5某厂每天生产某种产品件的成本函数为（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？5. 解 因为 = （） = 令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）.=140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 =176 （元/件）6已知某厂生产件产品的成本为（万元）问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？6解 （1） 因为 = = 令=0，即，得=50，=-50（舍去）， =50是在其定义域内的唯一驻点 所以，=50是的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品 第二部分 积分学一、单项选择题1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（y = x2 + 3 ）2. 若= 2，则k =（1） 3下列等式不成立的是（ ） 4若，则=（）.5. （ ） 6. 若，则f (x) =（ ）7. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是() 8下列定积分中积分值为0的是（） 9下列无穷积分中收敛的是（）10设(q)=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R的改变量是（350 ）11下列微分方程中，（ ）是线性微分方程12微分方程的阶是（1）.二、填空题12函数的原函数是-cos2x + c (c 是任意常数)3若，则4若，则=50 607无穷积分是收敛的（判别其敛散性）8设边际收入函数为(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，则平均收入函数为2 + 9. 是2 阶微分方程.10微分方程的通解是三、计算题 解 2解 3解 4解 = = 5解 = = 6解 7解 = 8解 =-=9解法一 = =1 解法二 令，则 = 10解 因为 ， 用公式 由 ， 得 所以，特解为 11解 将方程分离变量： 等式两端积分得 将初始条件代入，得 ，c = 所以，特解为： 12解：方程两端乘以，得 即 两边求积分，得 通解为： 由，得 所以，满足初始条件的特解为： 13解 将原方程分离变量 两端积分得 lnlny = lnC sinx 通解为 y = eC sinx 14. 解 将原方程化为：，它是一阶线性微分方程， ，用公式 15解 在微分方程中，由通解公式 16解：因为，由通解公式得 = = = 四、应用题1投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.1解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 = 100（万元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小. 2已知某产品的边际成本(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？2解 因为边际利润 =12-0.02x 2 = 10-0.02x 令= 0，得x = 500 x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500件增加至550件时，利润改变量为