从特殊到一般再到特殊 体验数学的再创造过程完全平方公式拓展教学设计涿州市实验中学宋振东1、 全日制普通初级中学教科书人教版第14章第2节选学内容 阅读与思考 杨辉三角 2、 课前准备：印发学案（学生每人一份）；制作ppt课件；制作立体杨辉三角模型。杨辉三角一、教材背景分析1、杨辉三角选自全日制普通初级中学教科书人教版第14章第2节的选学内容-阅读与思考。 教科书将二项式系数规律的探究与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的规律，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，借此对学生进行爱国主义教育，激发学生的民族自豪感。本节内容以完全平方公式为基础，引导学生建立二项式系数与“杨辉三角”之间的直觉，并探索其中的规律，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这一过程有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，发展其数学应用意识。在初中阶段属于选学内容，用以激发学生兴趣，开阔视野。将来的高二数学中，二项式定理与杨辉三角是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。对高中学习微分方程等也具有重要地位，有承前启后作用。2学情分析初二学生已学习完全平方公式，具备了一定的分析、探究问题的能力，恰当的问题引导能建立知识之间的相互关联，从而解决与杨辉三角相关的简单问题。3教学重点与难点重点：探索二项式系数与“杨辉三角”之间的联系；提高合情推理能力。难点：赋值法、数形结合、特殊到一般再到特殊的数学思想方法。二、教学目标1使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律，让学生感受我国古代数学成就和数学美，激发学生的民族自豪感.2通过研究(a+b)n 的展开式的规律，探索杨辉三角与其他数学对象之间的联系，培养学生的观察能力和归纳推理能力。3通过体验“发现规律、寻找联系、探究验证、运用迁移、拓展质疑”的学习过程，体验应用数形结合、特殊到一般、赋值法等数学思想解决问题的“再创造”过程。4通过合作探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，激发学生探索、研究我国古代数学的热情。三、教法选择和学法指导教法：问题引导、合作探究。学法：观察(a+b)n 的展开式的规律与“杨辉三角”之间的联系，在探究合作中理解知识，螺旋上升地概括核心知识并渗透重要数学思想。四、教学基本流程设计（一）精准计算，探究规律。 （二）数形偶遇，交相辉映。（三）赋值归纳，探究展示。 （四）反馈升华，跨越联想。（五）悬念小结，深度求索。五、教学过程（一）精准计算，探究规律。（小黑板演示）1、应用公式或多项式乘法法则计算填空，并按字母a进行降幂排列。(a+b)1a+b 第（1）行 (a+b)2a2+（）ab+b2 第（2）行 (a+b)3a3+（）a2b+3（）+b3 第（3）行 (a+b)4a4+（）a3b+（）a2b2+（）ab3+b4 第（4）行 (a+b)5 第（5）行2、把上面等式右面每一项的系数排列成行，找出规律，写出第7、8行数字。1 1 第（1）行 1 2 1 第（2）行 1 3 3 1 第（3）行 1 4 6 4 1 第（4）行 1 5 10 10 5 1 第（5）行 1 6 15 20 15 6 1 第（6）行 第（7）行 第（8）行【设计意图】1、猜想是在对具体事例研究的基础上，通过类比或归纳得出具有普遍性的结论。猜想前所需经历的重要过程就是特例尝试，让学生先研究几个特例，由特殊到一般，学生就可以提炼出合理化猜想的方法，从而提升学生猜想的能力。2、计算(a+b)n 的展开式，降幂排列、整理系数为探究二项展开式系数的规律与“杨辉三角”埋下伏笔。（二）数形偶遇，交相辉映。1、上述三角形最早发现于我国南宋数学家杨辉所著详解九章算法一书（1261年），在我国通常称为杨辉三角形，法国数学家帕斯卡发现这一三角形是十七世纪的事，比杨辉晚了五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。观察上面两图填空：（1）三角形的两条斜边上都是数字都是_，而其余的数都等于它肩上的两个数字_ ；杨辉三角每行都具有_性； 第n行包含_个数。（2）(a+b)n 的展开式共有n+1项，每项的次数_；若按照字母a的降幂排列（也是按b的升幂排列），则各项的系数就是杨辉三角中第_行。2、 请写出(a+b)6(a+b)7(a+b)8【设计意图】通过小组合作交流，探究规律，提升能力。（1）观察发现杨辉三角的规律，并且探究杨辉三角的第n行数字就是(a+b)n 展开式系数，(a+b)n 展开式的系数和杨辉三角都具有对称性和增减性。 （2）培养学生合情推理能力、联想概况和迁移拓展能力；体会应用数形结合、特殊到一般等思想方法解决问题的“再创造”过程。 （三）赋值归纳，探究展示。1、 杨辉三角中第一行数字之和为 ，第二行数字之和为 ； 第三行的和为 ；第四行的和为 ；第n行的数字之和为 。2、 以上是巧合么？把展开式的第四行中a和b都代换成1，左边为 ；右边为 ，右边恰是杨辉三角的第 行。此法为数学中的赋值法。3、杨辉三角从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第二行为121）都是上一行的数与_的乘积。由此可得出115=_；由第_行可写出118=_。这是把a和b看成_得到的。【设计意图】1、引导学生观察分析数据性质，运用特殊到一般思想，进一步培养合情推理。2、体验赋值法在数学中的作用，展开式与杨辉三角相互补充，交相辉映。3、通过分组讨论、自主探究、合作交流，提高学生合作意识。4、由浅入深，方法迁移。（四）反馈升华，跨越联想。1、 能求出(a+b+c)2和(a+b+c)3的值么？画出方案。（借助立体杨辉三角模型演示，把二维平面空间推广到三维立体空间，给学生思维上的拓展）2、 利用赋值法直接写出25-524+1023-1022+52-13、 已知，求值。图9.111111133111133336BCAD 4、小明从家里到学校，（只能从西到东，从南到北走）问有几条路可以走？5、请观察1、1、2、3、5、8、13、21、这列数与杨辉三角有直接的关联么？【设计意图】1、通过学生归纳二项式系数规律与杨辉三角的关联，引导学生验证猜想结论是否正确。2、为了突破用赋值法探究问题的难点，引导学生从模型化的角度出发，多角度的分析探究问题，将学生思维推向高潮，既加深学生对前后知识的内在联系的理解，又从深度和广度上让学生感受数学知识的串联和呼应。3、用斐波那契数列说明杨辉三角固然神奇，但不是万能钥匙；知识是死的，人是活的，不要拘泥于杨辉三角，不要被所学的知识束缚。（五）悬念小结，深度求索。1、通过本节课的学习，你有什么收获和体会（从数学和生活的角度）？n 穿越。知识学问是跨越地域穿越时空的金钥匙。n 联想和创造力是我们学习的高层次目标。天才是99%的努力加1%的灵感。但是99%的努力的价值有时相当于1%的灵感的价值。n 尊重权威但不盲从权威。知识是死的，人是活的；改变世界！活出真我！2、作业布置（研究性学习）活动主题：杨辉三角中的奥妙.活动目标：探究与发现杨辉三角中的更多奥妙.活动方案步骤：查阅资料，收集信息；独立思考，发现规律，猜想证明；合作探究，小组讨论，形成初步结论；与指导老师及其他小组成员交流展示；撰写研究性学习报告.【设计意图】通过课堂的整理、总结与反思，使学生更好的掌握主干知识，体会探究过程中的数学思想方法。“杨辉三角”还有很多有趣的规律，让学生带着问题走进课堂，带着疑问离开教室，培养学生自主研修的习惯，提高学生探究问题、解决问题的能力。设计研究性学习活动，激发学生创造性的想象和推理，同时教会学生如何开展研究性学习。本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，教学设计依照数学化的进程展开，学生在经历这些问题的探索中加深对数学的领悟，教学实施中对问题的思考以自然的、启发性的方式进行探究，从中学习并感受数学知识的发生历程， 本课题学习的目的不在于对某个具体问题的解决，而在于对猜想、验证与拓广能力的培养，使学生学会猜想比较，学会验证联想，学会拓广是本节课的教学重点更是难点，通过体验“发现规律、寻找联系、探究验证、运用迁移、拓展质疑”的学习过程，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程。11