一、数理统计基础知识1. 在一本书上我们随机地检查了10页，发现每页上的错误数为4 5 6 0 3 1 4 2 1 4试计算样本均值、样本方差和样本标准差。解 样本均值 样本方差， 样本标准差2. 设有容量为的样本，它的样本均值为，样本标准差为，样本极差为，样本中位数为。现对样本中每一个观测值施行如下变化如此得到样本，试写出样本的均值、标准差、极差和中位数。解不妨设样本为，样本为，且，因而.，3. 设是来自的样本，试求和。解 均匀分布的均值和方差分别为0和，该样本的容量为，因而得，4.设是来自的样本，试求下列概率(1)；(2) 解(1)(2) 。5.在总体中抽取容量为的样本，如果要求样本均值落在内的概率不小于0.95，则至少为多少？解样本均值 ，从而按题意可建立如下不等式，即，所有，查表，故或，即样本量至少为4。6. 设是来自的样本，经计算，试求。解因为，用表示服从的随机变量的分布函数，注意到分布是对称的，故。利用统计软件可计算上式，譬如，使用MATLAB软件在命令行中输入tcdf(1.0405，15)则给出0.8427，直接输入2* tcdf(1.0405，15)-1则给出0.6854。这里的就表示自由度为的分布在处的分布函数。于是有。7.设是来自的样本，试确定最小的常数，使得对任意的，有。解由于，所以的值依赖于，它是的函数，记为，于是，其导函数为其中表示的密度函数，由于，故，从而，这说明，为减函数，并在处取得最大值，即于是，只要，即就保证对任意的，有。最大的常数为。8.设是来自的样本，试求的分布。解由条件，故，又，且与服从二元正态分布，故与独立，于是。9.设总体为，为样本，试求常数，使得。解由上题，由于取值于，故由题目所给要求有，从而。于是，这给出。10.设是来自的样本，则，试求常数使得服从分布，并指出分布的自由度。解 由条件：，且，相互独立，因而，故。这说明当时，自由度为。二、点估计11.从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h）：1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080 试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计。解 样本均值，样本标准差 因此，元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为1143.75和96.0652.12. 设总体，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6 试对参数给出矩估计。解 由于，即,而样本均值，故的矩估计为。13.设总体密度函数如下是样本，试求未知参数的矩估计。（1）；（2）；（3）；（4）。解 (1) 总体均值，即，故参数的矩估计为。 （2）总体均值，所以，从而参数的矩估计(3) 由，可得，由此，参数的矩估计。（4）先计算总体均值与方差 ， ，由此可以推出，从而参数，的矩估计为，。14.甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现a个错字，乙发现b个错字，其中共同发现的错字有c个，试用矩估计法给出如下两个未知参数的估计：（1）该书样稿的总错字个数；（2）未被发现的错字数。解 （1）设该书样稿中总错字的个数为，甲校对员识别出错字的概率为，乙校对员识别出的错字的概率为，由于甲、乙是彼此独立地进行校对，则同一错别字能被甲、乙同时识别的概率为，根据频率替换思想有。由独立性可得矩法方程，解之得。（2）未被发现的错字数的估计等于总错字数的估计减去甲、乙发现的错字数，即。譬如，如设，则该书样稿中错字总数的矩法估计为，而未被发现的错字个数的矩法估计为个。15.设总体概率函数如下，是样本，试求未知参数的最大似然估计。 （1）； （2）已故，。解 （1）似然函数为，其对数试然函数为。将关于求异并令其为0即得到似然方程。解之得 。由于 ，所以是的最大似然估计 （2）似然函数为，其对数似然函数为。将关于求异并令其为0得到似然方程，解之可得 。由于，这说明是的最大似然估计。16.设总体概率函数如下，是样本，试求未知参数的最大似然估计。 （1），已知； （2）； (3)。解 （1）样本的似然函数为。要使达到最大，首先示性函数应为1，其次是尽可能大。由于，故是的单调增函数，所以的取值应仅可能大，但示性函数的存在决定了的取值不能大于，由此给出的最大似然估计为。 （2）此处的似然函数为，。其对数似然函数为 由上式可以看出，是的单调增函数，要使其最大，的取值应该尽可能的大，由于限制，这给出的最大似然估计为。将关于求异并令其为0得到关于的似然估计方程 ， 解之 。（3）设有样本，其似然函数为 。由于是关于的单调递减函数，要使达到最大，应尽可能小，但由于限制可以得到，这说明不能小与，因而的最大似然估计为。17.设总体概率函数如下，是样本，试求未知参数的最大似然估计 (1)；（2）; (3)。解 （1）不难写出似然函数为。对数似然函数为。将之关于求异并令其为0得到似然估计方程，解之可得 。而，故是的最大似然估计。（2）此处的似然函数为 。它只有两个取值：0和1，为使得似然函数取1，的取值范围应是，因而的最大似然估计可取中的任意值。（3）由条件，似然函数为；其次要尽量小，综上可知，的最大似然估计应为，的最大似然估计应为。18.在遗传学研究中经常要截尾二项分布中抽样，其总体概率函数为，对数似然函数为。将对数似然函数关于求异并令其为0得到似然方程，解之得。后一个等式是由于，所以，代入上式即得。19.总体，其中是未知参数，又为取自该总体的样本，为样本均值。 （1）证明是参数的无偏估计和相合估计 （2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？解 （1）总体，则，从而 于是，这说明是参数的无偏估计。进一步，。这就证明了也是的相合估计。 （2）似然函数为，显然是的减函数，且的取值范围为，因而的最大似然估计为。下求的均值与方差，由于的密度函数为， 故 ，从而，这说明不是的无偏估计，而是的渐近无偏估计。又，因而是的相合估计。 20. 设是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？ （1）； （2）； (3) ；解 先求三个统计量的数学期望， ， ， 。这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为，则，不难看出，从而的有效性最差。三、区间估计21.某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在，现抽取了一个容量为的样本，测定其强度，算得样本均值为，试求这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间。解这是方差已知时正态均值的区间估计问题。有题设条件，查表知，于是这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为，即这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为。22.总体，已知，问样本容量取多大时才能保证的置信水平为的置信区间的长度不大于。解由已知条件得的0.95的置信区间为其区间长度为，若使，只需。由于，故，即样本容量至少取时，才能保证的置信水平为95%的置信区间的长度不大于。23. 0.50，1.25，0.80，2.00是取自总体的样本，已知服从正态分布。 （1）求的置信水平为95%的置信区间； （2）求的数学期望的置信水平为95%的置信区间。解 （1）将数据进行对数变换，得到的样本值为。它可看作是来自正态总体的样本，其样本均值为，由于已知，因此，的置信水平为95%的置信区间为。 （2）由于是的严增函数，利用（1）的结果，可算得的数学期望的置信水平为95%的置信区间为。24 用一个仪表测量某一物体量9次，得样本均值，样本标准差。 （1）测量标准差大小反映了测量仪表的精度，试求的置信水平为0.95的置信区间； （2）求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间。解 （1）此处，查表知，的置信区间为从而的置信水平为0.95的置信区间。（2） 当未知时，的置信区间为。查表得，因而的置信水平为0.99的置信区间为25.已知某种材料的抗压强度，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如下： 482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 。（1）求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间（2）如已知，求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间;（3）求的置信水平为95%的置信区间。解 （1）经计算得，在未知时，的置信水平为95%的置信区间为。 查表得，因而的置信水平为95%的置信区间为（2） 在时，的置信水平为95%的置信区间为 。查表得，因而的置信水平为95%的置信区间为。（3）此处，取，查表得，因而的置信水平为95%的置信区间为 由此可以得到的置信水平为95%的置信区间为。26在一批货物中随机抽取80件，发现有11件不合格品，试求这批货物的不合格率的置信水平为0.90的置信区间。 解 此处较大，可用正态分布求其近似置信区间。不合格品率的近似置信区间为。 此处，因而不合格品率的置信水平为0.90的置信区间为。27. 设是来自泊松分布的样本，证明：当样本量较大时，的近似置信区间为。证 由中心极限定理知，当样本量较大时，样本均值，因而，此可作为枢轴量，对给定，利用标准正态分布的分为数可得 。 括号里的事件等价于，因而得。其左侧的二元多项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式，故此二次曲线与轴有两个交点，记为和，则有，其中和可表示为这就证明了的近似置信区间为 事实上，上述近似区间是在比较大时使用的，此时有。于是，的近似置信区间可进一步简化为28.某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况。现记录了该商量过去的一些销售量，数据如下：月销售量910111213141516月分数1613129421试求平均月销售量的置信水平为0.95的置信区间。解平均月销售量 ，此处 ，较大，利用上一题结果，平均月销售量的近似0.95的置信区间为。若用较为精确的近似公式，所得置信区间为，二者相差不大。29.随机选取9发炮弹，测得炮弹的炮口速度的样本标准差，若炮弹的炮口速度服从正态分布，求其标准差的0.95置信上限。解 在正态分布下，对样本方差有，从而有，等价地，故标准差的0.95置信上限为。30. 为估计某台光谱仪