、习题详解:1.1写出下列随机试验的样本空间：某篮球运动员投篮时，连续5次都命中，观察其投篮次数；解：连续5次都命中，至少要投5次以上，故!5,6,7,；掷一颗匀称的骰子两次，观察前后两次出现的点数之和；解：22,3,4,11,12 ；观察某医院一天内前来就诊的人数；解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以 3 0,1,2,；从编号为1，2, 3, 4，5的5件产品中任意取出两件，观察取出哪两件产品； 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：检查两件产品是否合格；解：用0表示合格,1表示不合格，则50,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 ；观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1,最高气温不高于 T2);解：用x表示最低气温，y表示最高气温；考虑到这是一个二维的样本空间，故:6 x,yx y T2；在单位圆内任取两点，观察这两点的距离；解：7 x0 x 2 ；(8)在长为丨的线段上任取一点，该点将线段分成两段，观察两线段的长度解：8 x, y x 0, y 0, x y l ；1.2设A，B, C为三事件，用A;B;C的运算关系表示下列各事件：(1) A与B都发生，但C不发生；ABC ； A发生,且B与C至少有一个发生；A(B C);(3) A,B,C中至少有一个发生；A B C ;A,B,C中恰有一个发生；ABC ABC ABC ;(5) A,B,C中至少有两个发生；AB AC BC ；A,B,C 中至多 有一个 发生；AB AC BC ;(7) A;B;C 中至多有 两个发生；ABC ；(8) A,B,C中恰有两个发生.ABC ABC ABC ;注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3 设样本空间 x0 x 2 ,事件 A= x0.5 x 1 , B x0.8 x 1.6具体写出下列各事件：(1) AB； (2) A B ； (3) A B ； (4) A B(1) AB x0.8 x 1 ；(2) A B= x0.5 x 0.8 ；(3) A B= x0 x 0.50.8 x 2 ；(4) A B= x0 x 0.5 1.6 x 21.4用作图法说明下列各命题成立：略1.5用作图法说明下列各命题成立：略1.6按从小到大次序排列 P(A),P(A B),P(AB),P(A) P(B),并说明理由.解：由于 AB A,A (A B),故P(AB) P(A) P(A B)，而由加法公式，有：P(A B) P(A) P(B)1.7若 W表示昆虫出现残翅，E 表示有退化性眼睛，且P(W) = 0.125； P(E)=0.075,P(WE) = 0.025, 求下列事件的概率：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛；(2) 昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛；(3) 昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛.解：(1)昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：P(W E) P(W) P(E) P(WE) 0.175 由于事件W可以分解为互斥事件 WE,WE，昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛对应事件概率为： P(WE) P(W) P(WE) 0.1 昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛的概率为：P(WE) 1 P(W E) 0.825 .1.8设A与B是两个事件，P(A) = 0.6; P(B) = 0.8 。试问：(1) 在什么条件下P(AB)取到最大值？最大值是多少？(2) 在什么条件下P(AB)取到最小值？最小值是多少？解：(1)由于 AB A,AB B，故 P(AB) P(A), P(AB) P(B),显然当 A B 时 P(AB) 取到最大值。最大值是06(2) 由于 P(AB) P(A) P(B) P(A B)。显然当 P(A B) 1 时 P(AB)取到最小 值，最小值是041.9 设 P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(C) = 0.5, P(AB) = 0, P(AC) = 0.1, P(BC)=0.2, 求事件A,B,C中至少有一个发生的概率.解：因为P(AB) = 0 ，故P(ABC) = 0. A,B,C至少有一个发生的概率为：P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC) 0.71.10计算下列各题:(1) 设 P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(AB) = 0.6, 求 P(AB);(2) 设 P(A) = 0.8, P(A B) = 0.4, 求 P(AB);(3) 设 P(AB) = P(A B); P(A) = 0.3,求 P(B).解:(1)通过作图，可以知道,P(AB) P(A B) P(B) 0.31.11把3个球随机地放入4个杯子中，求有球最多的杯子中球数是1 , 2, 3概率各为多少?解：用A表示事件“杯中球的最大个数为i个” i =1,2,3。三只球放入四只杯中，放 法有4 4 4 64种，每种放法等可能。对事件A :必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4X 3X2种，故P(AJ -8( 选排列：好比3个球在4个位置做排列)。对事件A,:必须三球都放入一杯中。放法有 4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放 入此3个球，选法有4种)，故P(A3)丄。P(A2) 1 ?丄316 8 16 161.12掷一颗匀称的骰子两次，求前后两次出现的点数之和为3； 4; 5的概率各是多少？解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“ 3”对应两个基本事件(1，2)，(2，1)0故前后两次出现的点数之和为 3的概率为丄。18同理可以求得前后两次出现的点数之和为4, 5的概率各是丄丄。12 91.13在整数0,1,2, 9中任取三个数，求下列事件的概率：(1)三个数中最小的一个是 5； (2) 三个数中最大的一个是 5.解：从10个数中任取三个数，共有 G3, 120种取法，亦即基本事件总数为120o (1)若要三个数中最小的一个是 5,先要保证取得5,再从大于5的四个数里取两个,取法有C42 6种，故所求概率为 。20(2)若要三个数中最大的一个是 5,先要保证取得5,再从小于5的五个数里取两个， 取法有c5 io种，故所求概率为 丄。121.14 12只乒乓球中有4只是白色球,8只是黄色球。现从这12只乒乓球中随机地取出两只，求下列事件的概率:(1)取到两只黄球；(2)取到两只白球；(3) 取到一只白球，一只黄球.解：分别用 A|, A2, A3表示事件：(1)取到两只黄球；(2)取到两只白球；(3)取到一只白球，一只黄球.则C228P(A)866上卩?)Ct , P(A3) 1 P(A) P(A)兰。33C122 66 1133C；1.15已知P(A)0.7, P(B) 0.4， P(AB) 0.5,求 P(A B) B).解:P(AB)B)P(A B) B) P(AB) (BB)P(B)P(B)由于P(BB) 0，故 P(A B) B)P(AB)PWP(A) P(AB) 05P(B)1.16已知 P(A) 0.6, P(B) 0.4,P(AB)0.5。计算下列二式:(1) P(A B);(2)P(A B);解：(1) P(A B) P(A) P(B)P(AB)1 P(B)P(AB) 1 0.4 0.5 0.8;(2) P(A B) P(A) P(B)P(AB)1 P(B)P(A|B) 1 0.4 0.5 0.6;注意：因为 P(AB) 0.5，所以 P(A|B) 1 P(AB) 0.5。1.17 一批产品共20件，其中有5件是次品，其余为正品。现从这20件产品中不 放回地任意抽取三次，每次只取一件，求下列事件的概率：(1)在第一、第二次取到正品的条件下，第三次取到次品（2）第三次才取到次品；（3）第三次取到次品.A表示事件“第i次取到的是正品是次品”（i 1,2,3 ）。P（A） 15-,P（A1A2）204（1）事件“在第一、第二次取到正品的条件下（2）事件“第三次才取到次品”的概率为：（3）事件“第三次取到次品”的概率为：（i 1,2,3），则A表示事件“第i次取到的3 1421p（A）p（A2A）:不芫4 1938,第三次取到次品”的概率为：14此题要注意区分事件（1）、（2 ）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用A表示事件“第i次取到的是正品” （i 1,2），则事件“在第一次取到正品的条件下，第二次取到次品”的概率为：p（A2a）1 ；而 事件“第二次才取到次品”的概率为：p（aA2）p（a）p（Aa） 1。区别是显然的。1.18有两批相同的产品，第一批产品共14件，其中有两件为次品，装在第一个箱 中；第二批有10件，其中有一件是次品，装在第二个箱中。今在第一箱中任意取 出两件混入到第二箱中，然后再从第二箱中任取一件，求从第二箱中取到的是次品 的概率i ”。用B表示事件“从解：用A（i 0,1,2）表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数第二箱中取到的是次品”。则PW 詈）C；丄911P(BA0) 12，P(B A)_2 12，P(B A)312，根据全概率公式，有:1.19 一等小麦种子中混有 5%的二等种子和3%的三等种子。已知一、二、三等种子将来长出的穗有50颗以上麦粒的概率分别为 50%, 15%和10%假设一、二、三等种子的发芽率相同，求用上述的小麦种子播种后，这批种子所结的穗有50颗以上麦 粒的概率.解：设A(i 1,2,3)表示事件“所用小麦种子为i等种子”，B表示事件“种子所结的穗有50颗以上麦粒”。则 P(A1) 0.92, P(A2) 0.05,P(A) 0.03, P(B A) 0.5，P(B A) 0.15，P(B A3) 0.1，根 据全概率公式，有：1.20设男女两性人口之比为 51 : 49,男性中的5%是色盲患者，女性中的2.5%是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人，恰好是色盲患者，求此人为男性的概率。解：用B表示色盲，A表示男性，则A表示女性，由已知条件，显然有:P(A) 0.51,P(A)0.49, P(B A) 0.05,P(BA) 0.025,因此:根据贝叶斯公式，所求概率为:P(AB)P(AB)P(B)P(AB)P(A)P(B A)102P(AB) P(AB) P(A)P(BA) P(A)P(BA) 1511.21根据以往的临床记录，知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95,非癌症患者因对这试验呈阳性反应的概率为0.01,被试验者患有癌症的概率为0.005。若某人对试验呈阳性反应，求此人患有癌症的概率解：用B表示对试验呈阳性反应，A表示癌症患者，则A表示非癌症患者，显然有：P(A) 0.005,P(A) 0.995,P(B A) 0.95,P(B|A) 0.01,因此根