购进货物策略的优化模型摘要针对经销商购进货物策略的问题，我们将主要以存储模型和差分方程为主要依据， 分析题目中给出的销量数据，建立模型，求解出满足商品进货策略和市场需求的最优化 模型。针对问题一，我们用泊松分布折线图和实际销量频率分布图散点图，对比发现三类 商品销售量在零点的频率大于需求量在零点的频率，而且分析可知 C 类商品日缺货量的 概率大于 A、B 两类商品，所以将 C 的销售零点作为切入点，然后建立递推方程组，通 过计算和推理，求解出该店三类产品以储存量固定模型进货，具体策略是：当两类以上 产品缺货时立马进货，补货至贮存上限。针对问题二，我们用 excel 和 matlab 绘制出各类产品在不同季度的销售量条形图和 不同月份的日销量折线图，分别得到A、B、C三类商品的日销量、每月销量标准差与日 销量百分比以及三类商品的季度销量图，然后再根据总销量趋势图进一步得出 A、 B、 C 三类产品的市场需求，A、B、C类商品日销售量分别为：2.76, 4.63, 7.50,月日销量 标准差与日销量百分比分别为： 8.90%；6.89%；5.49%。针对问题三，我们通过对图形的对比，用mat lab求出缺货的的时间和总的缺货量，A的缺货时间为93天，缺货量为301件；B缺货时间大约为62天，缺货量大约286件；C缺货时间大约为48天，缺货量大约为339天。针对问题四，我们首先提出了一个不同存储策略下求解最小缺货量及最少进货次数 的优化模型，用差分方程描述存贮量的变化过程；用泊松分布描述需求量的概率分布。 算法上采用计算机的递推算法进行仿真模拟，通过对缺货量、缺货天数以及进货次数的 统计，比较几种策略可知当任意一种产品贮存量不足某一设定下限随机进货，补足至 45,75,120（贮存上限）。关键字 ：泊松分布 频率分布图 优化模型 算法仿真一、问题重述1.1 问题背景成功的企业与优秀的经销商互为前提，相互依存，是一个不可分割的利益共同体。采购是一个企业进行商品销售，物流配送，最终实现盈利的前提。所以一个好的进货策略是一个经销商获得最大利 润的必要条件。1.2 问题提出经销商为谋求利益最大化需要对代销品做出相对合理的进货策略。本题中，某商店 取得了某物在该区域的市场经销权，销售该物的三类产品，根据所提供的800 余天的销 售量建立数学模型，分析推导出商家的进货策略并进行评析、优化，并给出三类产品在 该区域的市场需求。然后在第一问的现有进货策略下，给出缺货时间和缺货量在内的缺 货情况，并且在已经充分考虑该店的产品存储能力的假设情况下，改进策略，使缺货损 失减半且进货次数尽可能少。二、问题分析1、对问题一，题目给出的条件并不多，我们只能把销售记录作为切入点进行探究。 进货策略在一般情况下可按两种情况进行考虑，一种是周期固定进货，一种是库存固定 进货。前者侧重时间段的长短，后者侧重销售量的多少。800多组数据中，日销售量为0 的点应该作为重点的研究对象，日销售量为0包含两种可能，一是产品当日需求量为0， 无人购买；二是产品在当日需求量不为0但仓库缺货，无法销售。如果某产品前一日销 售量为0，后一日销售量不为0，那么商店可能在这期间进货。我们可以通过统计假想的 进货点之间的时间间隔和该时段产品销售量总和来大致判断是商家是等周期进货还是 等库存进货。2、对于问题二，我们通过使用 excel 和 matlab 中的制图工具大体画出了各类产 品在不同季度的销售销量条形图和不同月份的销售销量拟合曲线图，分别得到 A、B、C 三类商品的日销售量、每月销量标准差与日销量百分比以及平均季度销量图，然后再根 据总销量趋势图进一步得出 A、B、C 三类产品的市场需求。3、对于问题三，通过程序，找出A、B、C中连续点或者是相邻差值非常大的点，再从中挑选出符合缺货条件的点，从而算出各类商品的缺货时间及缺货数量。4、对于问题四，我们不妨从纯数量的角度来研究该优化问题。解决优化问题的主 要目标是建立目标函数与约束条件，以及优化模型的求解。在本题中，由于优化目标涉 及复杂的概率分布，约束条件也无法用明确的数学表达式描述，因此可以考虑在当前策 略及概率分布的前提下，运用计算机仿真技术模拟不同策略下的解，并在可能的解中筛 选出满足要求的次优解。三、符号说明Sx进货后该商品的存储量，x可取A、B、CQx(k)第k天商品x的销售量Dx(k)第k天商品x的贮存量Rx(k)第k天商品x的需求量 P0标准曲线与实际曲线在零点处的频率差值 P，NII标准曲线与实际曲线在大于平均值处的频率差值和对应的频数 P，Nii实际曲线与标准曲线在小于平均值处的频率差值和对应的频数Q总的缺货量T总的出售时间，即825天t总的缺货时间t1缺货（不断货）的时间i日出售量GXA、B、C的缺货量HX进货次数四、模型假设1、储存的货物不会变质，运输过程零损耗。2、产品的日需求满足泊松分布，且A、B、C三类产品的日需求量相互独立。3、相对于需求量，货源的供给能力无限大，进货可视为瞬间完成。4、缺货不会影响以后的销量，即不会造成以后的客源减少。 5、各类产品日需求量 稳定。6、假设一年有 360 天，每月 30 天。五、模型建立与求解问题一 模型的建立：按两种进货策略考虑该商店的进货情况：一是周期固定进货，二是贮存量固定进货。 三类产品的需求分布与销售量分布在零点处的差别具有一致性：销售量零点的频率均大 于需求量零点的概率，经分析是由于缺货量非常大而产生的，用EXCEL统计出各产品的 销售零点日期。我们可以观察到A、B、C三类产品均有连续的销售零点出现。泊松分布折线图及实际销售量频率分布散点图如下：图5.1.1.商品A泊松分布图与销售量频率分图5.1.2.商品B泊松分布图与销售量频率分布散点图布散点图A、B类货物，即可认为C类产品销售零点表示当日缺货的概率大于A、B类产品，因此把C的销售零点作为切入口。在排除极端概率事 件的前提下我们可以认为C类产品销售量由0变至非0的那一天商家进货。计算我们假定 的进货日期之间的差分（见表1.2第D列）所有差分之间找不到公约数，并且出现17, 34这样局部成倍数的差分和32， 34这样大小很相近的差分据此推测进货策略应该不满足 周期固定。表5.1.4 C类产品销售零点相关数据统计图销售日期C日销售量C销售零点天数间隔灰色标记C销售零点天数间隔64011296501261261910134192014419301171940126323200332935301323540431393970173980172341503244702847501476032508013964707654021675016760167701图中用灰色标记出间断的零点和连续零点中的最后一个零点，即可认为是进货的前一天各类产品每日需求量稳定,因此两段很相近的时间段内的销售量可能近似甚至相等，进货策略很可能是满足贮存量固定进货，进货周期在某个值T 附近上下波动。从上图可推测T7或者16。分析需求量、销售量与贮存量三者之间的关系，我们可以得到以下的递推方程组不満足进货条件満足进货条件/）?（幻其中十xeJ:5:C. 乂表看商品兀的库存上限模型求解：进一步计算灰色标记的前后两个C销售零点间的A、B、C三类产品的销售总量,所得结果如下图所示:表515灰色标记的前后两个C销售零点间的产品的销售总量销售日期C日销售量C销售零点天数间隔灰色标记C销售零点天数间隔64011296501261261910134192014419301171940126323200332935301323540431393970173980172341503244702847501476032508013964707654021675016760167701（1）观察销售总量的数据，我们可以发现45、90、120、150、225、240 这几个数 值很特殊： （1）4590；150225；120240 与相对应的时间段长近似成比例 出现，且 150在列中重复出现。（2）最后一列中,59+181=240，它们对应的时间段长7+23=3032。由上述信息可以在T7或者16的前提猜想下进一步猜想T16，实际进货周期在 16上下波动。与T对应的A、B、C销售量分别为45、75、120,再结合之前所假设的贮 存量固定模型，可猜想该商店A、B、C的贮存上限，即m 45, m 75, m 120。A=B=C=下一步求解进货条件。依据上表可判断条件之一为销售量=贮存上限即贮存为 0。 由原始销售记录中存在多次某一产品销量长时间连续为0而同时其余产品正常销售，或 者某日两产品销量均为0，翌日至少其中一种产品销量不为0的情况，判断不应仅仅考 虑A或B或C三者之一的贮存情况。又考虑到上表中150、240和45、120成对出现， 假想进货应满足至少两种产品缺货这一条件。模型的检验：将上述模型代入实际情况中逐一检验，初始的产品贮存量是 45、 75、 120，发现 数据高度吻合，只有第585与586天B产品的销售量与模型有1个单位的差值，考虑到 误差总是不可避免的，且该误差相对于数据总量极为微小，可以忽略，因此模型成立。 由此可知，该店三类产品的进货策略是：当两类或两类以上产品缺货时立马进货，补货 至贮存上限，A45件，B75件，C120件。初始时A，B，C均满仓。进货53次。Dx(k-1)-Qx(k)不满足至少两种产品缺货 至少两种产品缺货 Rx(k)Dx(k)恥)5住)其中，xeA.B:C, SA = 45.= 75. 5C = 120,问题二我们运用 matlab 以及 excel 软件进行数据处理，并同时绘制图形如下，得出三类 产品在该区域的市场需求情况。对于 A 商品通过使用 matlab 作图：分析得：产品A的平均月销售量在251附近A类商品日销售量为：2.76，即A的日需求量大约2.76 每月日销量标准差与日销量百分比： 8.90%对于 B 产品产品B的季度销售量和月日销量用excel作图如下：表一 产品 B 的季度销售量产品B的季度销售量经分析得：B类商品日销售量为：4.63 每月日销量标准差与日销量百分比： 6.89% 产品 B 的平均季度销售量在389 左右。季度之间的差距不是很大，相对上图的走向趋势，我们可以大致了解到在第二年 的二，三季度的销售量比较少，可能原因可能是缺货比较厉害。对于 C 产品产品B的季度销售量和月日销量用excel作图如下：表三 产品 B 的季度销售量产品