黄冈中学2015年自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题（A卷）时间120分钟，满分120分一、选择题（每小题5分，共30分）1已知，则代数式的值是（ ）A2013B2015C2016D20172已知，则S的的整数部分是（ ） A59B60C61D633已知四边形ABCD，下列条件：ABCD；BCAD；AB=CD；BC=AD；A=C；B=D. 任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”的概率是（ ） ABCD4如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，O2的半径为1，O1O2AB于点P，O1O2=6若O2绕点P按顺时针方向旋转360，在旋转过程中，O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）A3次B4次C5次D6次5如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着ABFC的路径行走至C，乙沿着AFECD的路径行走至D，丙沿着AFCD的路径行走至D若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）A甲乙丙 B甲丙乙 C乙丙甲 D丙甲乙6已知ADBC，ABAD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（）A 1+tanADB= B2BC=5CFCAEB+22=DEF D4cosAGB=二、填空题（每小题5分，共30分）7如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 .8如图，边长为n的正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点A1，A2An1为OA的n等分点，点B1，B2Bn1为CB的n等分点，连结A1B1，A2B2，An1Bn1，分别交曲线y=（x0）于点C1，C2，Cn1若C15B15=16C15A15，则n的值为 （n为正整数）9设下列三个一元二次方程： ，其中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是 .10.已知圆O外一点P，P到圆心O的距离是半径的2倍，过点P作圆O的切线PA、PB，延长AO交PB于E，OP交圆于点C，连接AC交PB于D，圆O的半径是，则PCD的面积是 .11.正整数a，b，c，d满足abcd，且，那么a的可能值共有 个.三、解答题（共60分）12.（10分）计算：.13.（10分）已知在ABC中，AD、BE、CF相交于点P，且，求 的值.14.（10分）在“全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人（1）求2014年全校学生人数；（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量人数）求2012年全校学生人均阅读量；2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值15.（15分）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0x1），圆的半径为y求y关于x的函数解析式；当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大16.（15分）如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR设运动时间为t秒（1）当t= 时，PQR的边QR经过点B；（2）设PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）如图2，过定点E（5，0）作EFBC，垂足为F，当PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若MAN=45，求t的值参考答案：1.A 2.B 3.C 4.B 5.B 6.A 7. 8.17 9. 10. 11.50114.解：（1）由题意，得2013年全校学生人数为：1000（1+10%）=1100人，2014年全校学生人数为：1100+100=1200人；（2）设2012人均阅读量为x本，则2013年的人均阅读量为（x+1）本，由题意，得1100（x+1）=1000x+1700，解得：x=6答：2012年全校学生人均阅读量为6本；由题意，得2012年读书社的人均读书量为：2.56=15本，2014年读书社人均读书量为15（1+a）2本，2014年全校学生的读书量为6（1+a）本，8015（1+a）2=12006（1+a）25%2（1+a）2=3（1+a），a1=1（舍去），a2=0.5答：a的值为0.515.解：（1）方案一中的最大半径为1分析如下：因为长方形的长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1（2）如图1，方案二中连接O1，O2，过O1作O1EAB于E，方案三中，过点O分别作AB，BF的垂线，交于M，N，此时M，N恰为O与AB，BF的切点方案二：设半径为r，在RtO1O2E中，O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=ABAO1CO2=32r，（2r）2=22+（32r）2，解得 r=方案三：设半径为r，在AOM和OFN中，AOMOFN，解得 r=比较知，方案三半径较大（3）方案四：EC=x，新拼图形水平方向跨度为3x，竖直方向跨度为2+x类似（1），所截出圆的直径最大为3x或2+x较小的1当3x2+x时，即当x时，r=（3x）；2当3x=2+x时，即当x=时，r=（3）=；3当3x2+x时，即当x时，r=（2+x）当x时，r=（3x）（3）=；当x=时，r=（3）=；当x时，r=（2+x）（2+）=，方案四，当x=时，r最大为1，方案四时可取的圆桌面积最大16.解：（1）PQR的边QR经过点B时，ABQ构成等腰直角三角形，AB=AQ，即3=4t， t=1 即当t=1秒时，PQR的边QR经过点B（2）当0t1时，如答图11所示设PR交BC于点G，过点P作PHBC于点H，则CH=OP=2t，GH=PH=3S=S矩形OABCS梯形OPGC=83（2t+2t+3）3=6t；当1t2时，如答图12所示设PR交BC于点G，RQ交BC、AB于点S、T过点P作PHBC于点H，则CH=OP=2t，GH=PH=3QD=t，则AQ=AT=4t，BT=BS=ABAQ=3（4t）=t1S=S矩形OABCS梯形OPGCSBST=83（2t+2t+3）3（t1）2=t25t+19；当2t4时，如答图13所示设RQ与AB交于点T，则AT=AQ=4tPQ=123t，PR=RQ=（123t）S=SPQRSAQT=PR2AQ2=（123t）2（4t）2=t214t+28综上所述，S关于t的函数关系式为：S=（3）E（5，0），AE=AB=3，四边形ABFE是正方形如答图2，将AME绕点A顺时针旋转90，得到ABM，其中AE与AB重合MAN=45，EAM+NAB=45，BAM+NAB=45，MAN=MAN连接MN在MAN与MAN中，MANMAN（SAS）MN=MN=MB+BNMN=EM+BN设EM=m，BN=n，则FM=3m，FN=3n在RtFMN中，由勾股定理得：FM2+FN2=MN2，即（3m）2+（3n）2=（m+n）2，整理得：mn+3（m+n）9=0 延长MR交x轴于点S，则m=EM=RS=PQ=（123t），QS=PQ=（123t），AQ=4t，n=BN=AS=QSAQ=（123t）（4t）=2tm=3n，代入式，化简得：n2+4n3=0，解得n=2+或n=2（舍去）2t=2+解得：t=82若MAN=45，则t的值为（82）秒