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勾股定理全章知识点归纳总结一基础知识点:1:勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2)要点诠释:勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用:(1)已知直角三角形的两边求第三边(在AABC中,ZC=90。,则c=a2+b2,贝仏ABC是以zC为钝角的钝角三角形;若C22,n为正整数);2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1(n为正整数)m2-n2,2mn,m2+n2(mn,m,n为正整数)二、经典例题精讲题型一:直接考查勾股定理例1在AABC中,ZC=90。.已知AC=6,BC=8.求AB的长全国中考信息资源门户网站www.zhongkao.com中考网hongkao全国中考信息资源门户网站已知AB=17,AC=15,求BC的长分析:直接应用勾股定理a2+b2=c2解:AB=7AC2+BC2=10(2)BC=;AB2AC2=8题型二:利用勾股定理测量长度例题1如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,.已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理!根据勾股定理AC2+BC2=AB2,即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.例题2如图(8),水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC.期2解析:同例题1一样,先将实物模型转化为数学模型,如图2.由题意可知ACD中,ZACD=90,在RtAACD中,只知道CD=1.5,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下(仅供参考):全国中考信息资源门户网站www.zhongkao.com中考网全国中考信息资源门户网站www.zhongkao.com解:如图2,根据勾股定理,AC2+CD2=AD2设水深AC=x米,那么AD=AB=AC+CB=x+0.5X2+I.52二(x+0.5)2解之得x=2.故水深为2米.题型三:勾股定理和逆定理并用一一例题3如图3,正方形ABCD中,E是BC边上的中点,F是AB上一点,且FB=AB4那么ADEF是直角三角形吗?为什么?解析:这道题把很多条件都隐藏了,乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律,没有任何条件,我们也可以开创条件,由FB=;AB可以设AB=4a,那4么BE=CE=2a,AF=3a,BF=a,那么在RtAAFD、RtABEF和RtACDE中,分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长,反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF是否是直角三角形。详细解题步骤如下:解:设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2a,AF=3a,BF=a在RtACDE中,DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2a)2=20a2同理EF2=5a2,DF2=25a2在ADEF中,EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF2DEF是直角三角形,且ZDEF=90.注:本题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题。全国中考信息资源门户网站www.zhongkao.comIhongkao全国中考信息资源门户网站www.zhongkao.com全国中考信息资源门户网站www.zhongkao.com题型四:利用勾股定理求线段长度一一例题4如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将AADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.解析:解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。详细解题过程如下:图4解:根据题意得RtAADE竺R弋AEFAZAFE=90,AF=10cm,EF=DE设CE=xcm,则DE=EF=CDCE=8x在RtAABF中由勾股定理得:AB2+BF2二AF2,艮卩82+BF2=102,BF=6cmCF=BCBF=106=4(cm)在RtAECF中由勾股定理可得:EF2二CE2+CF2,即(8x)2=x2+426416x+x2=2+16x=3(cm),即CE=3cm注:本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五:利用勾股定理逆定理判断垂直例题5如图5,王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边,他测得AD=80cm,AB=60cm,BD=100cm,AD边与AB边垂直吗?怎样去验证AD边与CD边是否垂直?翩解析:由于实物一般比较大,长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4,矩形ABCD表示桌面形状,在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度?),连结MN,测量MN的长度。如果MN=15,则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直;如果MN=aH15,则92+122=81+144=225,azH225,即92+I22Ha2,所以ZA不是直角。利用勾股定理解决实际问题例题6有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?解析:首先要弄清楚人走过去,是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米,可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型,如图6所示,A点表示控制灯,BM表示人的高度,BCMN,BC丄AN当头(B点)距离A有5米时,求BC的长度。已知AN=4.5米,所以AC=3米,由勾股定理,可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。题型六:旋转问题:例1、如图,ABC是直角三角形,BC是斜边,将ABP绕点A逆时针旋转后,能与ACP7重合,若AP=3,求PP,的长。变式1:如图,P是等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=2爲,PC=4,求AABC的边长.分析:利用旋转变换,将厶BPA绕点B逆时针选择60,将三条线段集中到同一个三角形中,根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式2、如图,AABC为等腰直角三角形,ZBAC=90,E、试探究BE2、CF2、EF2间的关系,并说明理由.题型七:关于翻折问题例1、如图,矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,将矩形纸片沿AE折叠,点B恰好落在CD边上的点G处,求BE的长.变式:如图,AD是厶ABC的中直线AD翻折,点C落在点C的线,ZADC=45,把ADC沿位置,BC=4,求BC的长.题型八:关于勾股定理在实际中的应用:例1、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A到公路MN的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?题型九:关于最短性问题图1-19例5、如右图119,壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边沿A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击.结果,壁虎的偷袭得到成功,获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?(n取3.14,结果保留1位小数,可以用计算器计算)变式:如图为一棱长为3cm的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点,最少要花几秒钟?
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