图形镶嵌问题中的若干问题用平面封闭图形，把一块地面无缝隙、又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌为了方便，这里简称之“镶嵌”新课标（实验稿）几何部分对图形镶嵌的要求是：通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计当然有的教材还可以通过对几何部分的补充、阅读材料、课题学习等多种形式做适当的拓展笔者目前所使用的华师大版初中数学教材正是属于这种情形，该版教材把图形镶嵌的内容集中安排在七年级（下）的多边形章节内教材在几何部分补充了“用多种正多边形拼地板”；阅读材料中介绍了“多姿多彩的图案”，在这里，一些神奇的图形、图案也可以镶嵌平面；课题学习中则安排了“图形的镶嵌”，这里的有些问题设计时非常开放应该说，华师大版教材图形镶嵌部分内容非常丰富，有利于学生比较全面地去了解图形的镶嵌问题当然，这对于我们教师来说，因此需要了解更多的有关图形镶嵌方面的知识现在笔者从四个方面来谈谈对图形镶嵌问题的体会、理解一、用一种正多边形镶嵌用一种正多边形镶嵌时，学生要弄清楚这样一个基本事实：正三角形、正方形和正六边形可以镶嵌平面，其它正多边形都不可以镶嵌平面要解释其中的原因所在，自然必须熟悉正边形的内角度数：（注：由于外角和一定，所以用内、外角互补关系来求正多边形的内角度数更容易些）依据这个公式，从正三角形开始，随着边数的增加，内角度数依次为：60、90、108、120、135、140、144、这里的60、90和120，分别乘以整数6、4和3后都等于360，恰好是一个周角的度数其余数不具备这种特征，例如正五边形的内角等于108，它的3倍不足一个周角，它的4倍则要超过一个周角；又如边数超过6的正多边形，内角的2倍不足一个周角，内角的3倍则要超过一个周角由于正三角形、正方形的内角度数分别乘以整数3、2后都等于180，恰好是一个平角的大小所以用这两种正多边形镶嵌时无须一定要顶点与顶点重合，如图1、2所示所以说，正三角形、正方形能够镶嵌平面的理由：内角度数是180的约数（实际上图1 图2我们经常所说的“是360的约数”还不能解释图1、2的情形）；正六边形能够镶嵌平面的理由：内角度数是360的约数；其余正多边形不能够镶嵌平面的理由：360不是它们内角度数的整数倍二、用多种正多边形镶嵌用多种正多边形镶嵌，可以先让学生来观察一些比较常见的例子如图3，用正方形和正八边形这两种图形可以镶嵌，这是因为它们的内角分别等于90和135，而如图4，正三角形、正方形和正六边形这三种正多边形也可以镶嵌，这是因为它们的内角分别等于60、90和120，而60+通过这两个例子，大家都有这样的体会：用多种正多边形镶嵌时，这些多边形的内角可以组合成一个周角要分析出各种组合周角的方式是比较容易做到的由60+90+108+120360知“不可能用四种或四种以上的正多边形镶嵌”现在先来讨论用两种正多边形组合的情况 图3 图4 图5因为至少是三个角拼成一个周角，所以必有角小于120，即肯定有边数小于六的正多边形存在经分析得60+150+150=360（正三角形，正十二边形）；60+60+120+120=360（正三角形，正六边形）；60+60+60+90+90 =360 （正三角形，正方形）；60+60+60+60+120=360（正三角形，正六边形）；90+135+135=360（正方形，正八边形）；108+108+144=360（正五边形，正十边形）这里六种组合情况中有两种是相近的，而正五边形，正十边形又不能镶嵌（见图5），所以实际上只有四种镶嵌的组合然后来讨论用三种正多边形组合的情况若存在正三角形，且由三个角组成周角的情形是：60+=360（正三角形，正七边形，正四十二边形）；60+135+165=360（正三角形，正八边形，正二十四边形）；60+140+160=360（正三角形，正九边形，正十八边形）；60+144+156=360（正三角形，正十边形，正十五边形）若存在正三角形，且由四个角组成周角的情形是：60+60+90+150=360（正三角形，正方形，正十二边形）；60+90+90+120=360（正三角形，正方形，正六边形）若不存在正三角形，则有90+120+150=360（正方形，正六边形，正十二边形）；90+108+162=360（正方形，正五边形，正二十边形）这里八种组合中到底有几种组合能镶嵌的，留给读者自己去探究几种正多边形的内角能组合成周角不是它们能镶嵌的充分条件下面是通过严密的证明来得到“正五边形和正十边形不能镶嵌”，这里采用反证法证明假设“正五边形和正十边形能镶嵌”由于正五边形的内角、正十边形的内角不能拼成一个平角，所以它们镶嵌时，里面的正多边形（非边界处）顶点不会落到其它正多边形的边的非端点处简言之，我们看到的每一个顶点处（处于边界上的除外）它肯定是三个角“108度角、108度角和144度角”的公共顶点121 图6 图7 图8如图6，我们再假定正五边形是里面的一块图形（它的任一点都不在边界上），显然在它的周围都有别的正多边形存在由于是两个108度角的顶点，因此肯定存在一个“正五边形1”，它的一条边必与或中的一条完全重合由对称性可知，、一个样，我们不妨选择（图7）由于也是两个108度角的顶点，因此肯定存在一个“正五边形2”，它的一条边必与或中的一条完全重合当与重合时，处出现三个108度角，是不可以的，所以“正五边形2”只能与边完全重合（图8）同样，也是两个108度角的顶点，因此肯定存在一个“正五边形3”，它的一条边必与或中的一条完全重合当与重合时，处出现三个108度角，是不可以的，当与重合时，处出现三个108度角，也是不可以的以上的分析中，我们不难得出这样的结论：正五边形只能处于边缘（它至少有一个点在边界上）另一方面，正十边形的周围只能是正五边形所以正五边形和正十边形不能镶嵌讨论多种正多边形的镶嵌问题时大家很少去注意“多边形的顶点落在其它多边形的边的非端点处”的情形，本文在很多地方也是如此而且在讨论正多边形的镶嵌时，通常认为它们的边长一样这样处理是理想化的，在逻辑上是不严密的尤其是这样处理了，会跟实际有出入，象正三角形和正方形都可以分割成更小的正三角形和正方形就足以说明这一点所以镶嵌问题实际上比我们所想象的还要再复杂一些三、用一种多边形镶嵌任意三角形都可以镶嵌，对一些普通的三角形有些学生会心存疑虑实际上我们只要告知学生：任意两个全等三角形都可以拼成平行四边形，而平行四边形是镶嵌的（图9）任意四边形都可以镶嵌，对于一些特殊的四边形学生非常容易接受对于一些普通的四边形最好能分析一下它们镶嵌时的排列特点如图10，这是一种普通四边形的镶嵌图如图11（四边形按图10中的2：1的比例放大），我们随意取图9里面的一块四边形（黑色），它周围有八块四边形显然与它只有一个公共点的四块（白色）可以看作是平移关系，而与它有一条公共边的四块（灰色）则可以看作是中心对称关系这里还有一个要注意的就是任意的凹四边形也可以镶嵌的，如图12所示 图10 图11 图12镶嵌问题对于边数超过四的非正多边形课标是不作要求的，但从系统性考虑这里想做个初步的介绍虽然正五边形不能镶嵌，但还是有一些五边形可以进行镶嵌的，这里不妨举几个例子，如图13、14、15所示这说明有些形状的五边形可以镶嵌六边形 图13 图14 图15 的情况也大致相同，除了正六边形，还有一些六边形也可以镶嵌，例如图16、17所示 图16 图 17对于边数超过六的多边形，凸多边形是不可能镶嵌的，但任意边数的多边形中都存在能够镶嵌的凹多边形图18、19、20分别列举的是八、十二、十六边形（它们边数是4的倍数）能够镶嵌的例子图21、22、23分别列举的是七、九、十一边形（它们的边数是奇数）能够镶嵌的例子图24、25、26分别列举的是十、十四、十八边形（它们边数是2的倍数而不是4的倍数）能够镶嵌的例子 图18 图19 图20 图21 图22 图23 图24 图25 图26下面我们来说明凸七边形不能镶嵌的理由（这是一个逻辑上不算严密的证明）假设七边形能镶嵌，则它肯定可以铺满一个非常大的区域此时有些角的顶点落在区域的内部（设这些角共有个），有些角的顶点落在区域的边界上（设这些角共有个）对于这个角还可以分成两组，一组是顶点有落在其它多边形边的非端点处的情形的，这组角（有可能个数为零）的平均度数不超过90度；另一组是顶点全有落在其它多边形边的端点处，这组角的平均度数不超过120度综合起来这个角的平均度数不会超过120度对于个角的平均度数肯定小于180度再考虑所有个角的平均值度，由得当时，所有个角的平均值肯定要小于度，这显然是不允许的，即、之间至少会满足而事实上，如果七边形真的能够镶嵌的话，那么肯定可以实现四、设计优美的镶嵌图前面介绍的都是一些多边形的镶嵌问题，我们生活中镶嵌的基本图形不仅仅是多边形，比上面所列举的要丰富得多我们先举个简单的例子，如图27所示，它是由非多边形镶嵌成的，这样或者比其还要复杂的图形是怎样设计出来的呢？有一个比较好的方法，这就是对基本的图形进行不断的割补下面只是介绍几个比较基础的，读者如果觉得这些还不够，那么最好去参考相关资料或自己进行探究如图2831，表示一个正方形通过四次简单割补（图30、31间进行了两次割补）得到一个十二边形的过程，这里的每次割补实际上是图形的平移变换其实镶嵌图要美观，一般需要有色彩的点缀才行，图32仅仅是简单的上色，比起图31来已感觉大不一样 图27