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第75讲不等式选讲考试要求1.不等式的基本性质(B级要求);2.|axb|c,|axb|c,|xa|xb|c型不等式的解法(B级要求);3.不等式证明的基本方法(比较法、综合法、分析法)(B级要求);4.算术几何平均不等式与柯西不等式(A级要求);5.利用不等式求最大(小)值(B级要求);6.运用数学归纳法证明不等式(B级要求).诊 断 自 测1.求不等式|x1|x5|2的解集.解当x1时,原不等式可化为1x(5x)2,42,不等式恒成立,x1.当1x5时,原不等式可化为x1(5x)2,x4,1x4,当x5时,原不等式可化为x1(x5)0,y0,若不等式0恒成立,求实数的最小值.解x0,y0,原不等式可化为()(xy)2.2224,当且仅当xy时等号成立.4,即4,4.故的最小值为4.知 识 梳 理1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集:不等式a0a0a0|x|a(,a)(a,)(,0)(0,)R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法:|axb|ccaxbc;|axb|caxbc或axbc;(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a,b是实数,则|a|b|ab|a|b|,当且仅当ab0时,等号成立.(2)如果a,b,c是实数,那么|ac|ab|bc|,当且仅当(ab)(bc)0时,等号成立.3.不等式证明的方法(1)比较法:作差比较法:知道abab0,ababb只要证明ab0即可,这种方法称为作差比较法.作商比较法:由ab01且a0,b0,因此当a0,b0时,要证明ab,只要证明1即可,这种方法称为作商比较法.(2)综合法:从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,最终推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫综合法.即“由因导果”的方法.(3)分析法:从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等),从而得出要证的不等式成立,这种证明方法叫分析法.即“执果索因”的方法.(4)反证法和放缩法:先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法叫做反证法.在证明不等式时,有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小,此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显,从而得出原不等式成立,这种方法称为放缩法.(5)数学归纳法:一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:证明当nn0时命题成立;假设当nk (kN*,且kn0)时命题成立,证明nk1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.4.几个常用基本不等式(1)柯西不等式:柯西不等式的代数形式:设a,b,c,d均为实数,则(a2b2)(c2d2)(acbd)2(当且仅当adbc时,等号成立).柯西不等式的向量形式:设,为平面上的两个向量,则|,等号当且仅当,共线时成立.柯西不等式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2,x3,y3R,则.柯西不等式的一般形式:设n为大于1的自然数,ai,bi (i1,2,n)为实数,则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2,等号当且仅当时成立(当ai0时,约定bi0,i1,2,n).(2)算术几何平均不等式若a1,a2,an为正数,则,当且仅当a1a2an时,等号成立.考点一绝对值不等式的解法及利用绝对值不等式求最值【例11】 (2019全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|,a0.(1)当a1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解(1)当a1时,f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时,不等式化为x40,无解;当1x0,解得x0,解得1x1的解集为.(2)由题设可得,f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a1,0),C(a,a1),ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26,故a2.所以a的取值范围为(2,).规律方法形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法:(1)分段讨论法,利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为(,a,(a,b,(b,)(此处设ab)三个部分,在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集;(2)几何法,利用|xa|xb|c(c0)的几何意义:数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体;(3)图象法:作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象,结合图象求解.【例12】 (1)对任意x,yR,求|x1|x|y1|y1|的最小值.(2)对于实数x,y,若|x1|1,|y2|1,求|x2y1|的最大值.解(1)x,yR,|x1|x|(x1)x|1,|y1|y1|(y1)(y1)|2,|x1|x|y1|y1|123.|x1|x|y1|y1|的最小值为3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25,即|x2y1|的最大值为5.规律方法求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值三角不等式,即|a|b|ab|a|b|.(3)利用零点分区间法.考点二绝对值不等式的综合应用【例2】 (2019全国卷)已知函数f(x),M为不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|ab|1ab|.(1)解f(x)当x时,由f(x)2得2x1,所以1x;当x时,f(x)2;当x时,由f(x)2得2x2,解得x1,所以x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1.(2)证明由(1)知,当a,bM时,1a1,1b1,从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0,即(ab)2(1ab)2,因此|ab|1时,等价于a1a3,解得a2.所以实数a的取值范围是2,).考点三证明不等式【例31】 若a,bR,求证:.证明当|ab|0时,不等式显然成立.当|ab|0时,由0|ab|a|b|,所以.规律方法(1)在不等式的证明中,“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有:变换分式的分子和分母,如,.上面不等式中kN*,k1;利用函数的单调性;真分数性质“若0a0,则”.(2)在用放缩法证明不等式时,“放”和“缩”均需把握一个度.【例32】 设a,b,c0,且abbcca1.求证:(1)abc;(2) ().证明(1)要证abc ,由于a,b,c0,因此只需证明(abc)23.即证:a2b2c22(abbcca)3,而abbcca1,故需证明:a2b2c22(abbcca)3(abbcca).即证:a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证得.原不等式成立.(2).由于(1)中已证abc.因此要证原不等式成立,只需证明 .即证abc1,即证abcabbcca.而a,b,c.abcabbcca.原不等式成立.规律方法当所证明的不等式不能使用比较法,且和重要不等式、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.【训练2】 设n是正整数,求证:1.证明由2nnk
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