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二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式、二次函数四个“二次”综合题的解题途径一、关于二次函数y=ax2+bx+c的图象1、 函数表达式:一般形式: y=ax2+bx+c标准形式: y=a(x-m)2+n两点形式: y=a(x-x1)(x-x2)2、 若图象经过(m,n)am2+bm+c=n特例:图象在y轴上的截距为t c=t 图象经过原点c=0 图象与轴交于点(1,0) a+b+c=03、 顶点在y轴左侧 - 0 顶点在x轴上方 0 顶点在x轴下方 0图象与x轴相切 f(x)=0有两个相等的实数根a0,=0.图象与x轴相离 f(x)=0 无实数根 a0,0,0,0.都在y轴右侧f(x)=0两个正实根0, -0, 0 . 都在y轴左侧 f(x)=0两个负实根 0, -0.图象与x轴的两交点距离为s a0,0,x1-x2=s ,s= .特别当=1时s=图象与x轴的两交点在x=m的两侧 a0,f(m)0,a0 af(m) 0 , 0 f (x)=0的两个根在m与n之间。6、 图象关于y轴对称且与x轴相交 f(x)=0两个根互为相反数 b=0,c/a07、二次函数在区间n,m 上的极值在函数的顶点和区间端点n或m处。8、图象与对称轴x=m分别与x轴的交点横坐标为 x1、 x2、(x10、f(x)0, =0f(x)是有理系数的完全平方式a0是完全平方数、=0且 b、c是有理数2、二元二次多项式F(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F(A0)变形为关于X的二次三项式f(x)=ax2+bx+c则F(x,y)能分解成两个一次因式的乘积f(x)的判别式 是关于y的完全平方式.7、f(x)0的解集是任何实数f(x)的值恒 大于0a0,0f(x)0的解是空集 f(x) 的值不是正数 a0, 0f(x)0的解集是任何实数f(x)的值恒小于0a0 0 f(x)0的解是空集f(x)的值是非负实数a0, 0f(x)的值有正数也有负数 a0, 0四、一元二次方程的f(x)=0根1、 有一个根是f()=02、含有待定系数k的两个方程f1(x)=0、 f2(x)=0有一个公共根以x和k为未知数的方程组: 练习题1、若抛物线:y=-x2+ax+b-b2 的顶点在另一条抛物线y=4x2+4x+上则a=,b=。2、若函数y=x2-x+k-7的图象与x轴有2个不同的交点,求证这两个交点不可能互为倒数3、已知:二次函数:y=(m2-2)x2-4mx+n的图象的对称轴是x=2,且它的最高点在直线y=x+1上求此二次函数的解析式若此二次函数图象的开口及方向不变,顶点在直线y=x+1上移动到M点时,图象与X轴恰好交于A、B两点且 ABM的面积等于8,求此时二次函数的解析式。注:顶点为(a,a+1)4、函数y=x2+(a-2)x-2a(a为大于0的常数)的图象与x轴交于A、B两点(A点在B点左边),与y轴交于C点且0C= 3OB 。求此二次函数的解析式。(注:先求出方程的两根。)5、方程:x2+px+q=0有一个根为4,抛物线C1:y= x2+px+q经过(。),又有抛物线C2:y=ax2+bx+c,若C1和C2与x轴有完全相同的交点,且它们的顶点关于x轴对称。求C1,C2的解析式6、已知:二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点。若AC=20,BC=15,ACB=90O,求此二次函数的解析式7、已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过(c,2)点,且 aa+bb=0又y2。求此二次函数的解析式。注:y有最大值2,ax2,x1+x2=2(-),x1-x2=2)12、如果二次函数y=x2-3x+m的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,求m的值。13、将抛物线y=2x2-4x-5的顶点的横坐标减去3,纵坐标加上2,得到抛物线L,求L关于y轴对称的抛物线的解析式。14、在直角坐标系中,以P(2,-3)为圆心,5为半径的圆与x轴交于A、B两点如果抛物线y=ax2+bx+c过A、B两点,且顶点在P上求此抛物线的解析式如果C是P上的一点,且ABC 为直角三角形求C点坐标。15、已知:一次函数y=kx+b(k0)图象过(1,2)点,且过二次函数y=(m2-1)x2-(m+1)x+1的图象与y轴的交点求一次函数的解析式如果二次函数与x轴有2个交点,试确定m的范围,若此3个交点的横坐标互为倒数,求m的值。16、若将抛物线的图象向上平移2个单位,则它的图象过原点,将抛物线的图象向下平移1个单位,则它的图象与x轴仅有1个公共点,又知它的顶点在直线y=x+上,求此抛物线的解析式。(注:图象与y轴交于(0,2),且顶点的纵坐标为1,代入直线方程得顶点(2,1),设y=a(x-2)2+1把(0,-2)代入得a=-)17、已知:关于x的二次方程x2+(m2+n2)x+m2+n2-1=0的两个根为、,又点P(,)到坐标原点的距离为1,求点O(m,n)到坐标原点的距离。18、当0x1时,二次函数y=x2-2ax+aa-1的值恒为正,求实数a的范围。19、已知x1、x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0的两个实数根求k的最大值最小值。综合习题公式:sin2+cos2=1 ,tgctg=1rtABC 中 C=900 则 :sinA=cosB tg A=ctg B,1、已知sin、cos是方程x2+px+q=0 的两根,求1+2q-p2的值。2、已知:A+B=900,sinA+cosB=m .求证:sinA、cosB是方程2x2-2mx+m2-1=0的两实数根。3、是否存在实数m,使得一元二次方程x2-mx+m=0的两个不相等的实数根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦,并证明你的结论。(注意m2。不存在)4、已知: ABC中C=900,两个锐角的余弦是方程x2-2(m+1)x+m2=0的两根,求 m的值。(注:m- ,m=)5、已知方程3x2-43x+3k=0的两根为tg、ctg(为锐角)求和k的值。6、如图 已知: o的半径为1,p为o内一定点,且OP=, AB是过P点的弦,且AB=c,过A、B分别作o的切线相交于K设P到AK、BK的距离分别为a、b,AOB=2。求证:sin= a+b= a、b是方程2x2-c2x+=0的两根。 7、 已知AB是半圆的直径,半圆与直线CD相切于P,AC垂直CD于C,BD垂直CD于D且CD=a,AC=b,BD=c。求证:CP、DP是方程x2 ax+bc=0 的两根。8、已知:抛物线的顶点为A(2,0)交Y轴于B(0,1),点C的横坐标为8,点C关于x轴的对称点C/在此抛物线上,求ABC的面积。(注:SABC= SAOB+SBOC-SBDC ) 9 、如图已知o的半径为2 ,OC=4,CD切o于D。求过A、D、C三点对称轴平行Y轴的抛物线的解析式。 (注:BCD=30O ) 10、二次函数y=-x2+px+q的图象与X轴交于A、B(A、B在原点的两侧)与Y轴的正半轴交于C,若ACB=90O且tgCAB-tgABC=2求函数的解析式。11、已知抛物线:y=4x2+4x+1+p(2x+1)。求证:证明不论p取何值,抛物线必过一个定点。当p取不同值时,抛物线顶点有无最高点或最低点,并说明理由。抛物线与X轴交于A、B,交Y轴负半轴于C,所得ABC面积为3,求p的值及ABC三个顶点的坐标。12、已知ABC的两边之和为10,第三边上的高AD为3,求ABC的外接圆半径的最大值。(取外接圆直径AE)13、已知四边形ABCD是半径为1的半圆的内接等腰梯形,其下底是半圆的直径AB。试求:梯形的周长y与腰长x之间的函数关系式;当腰长为多少时,周长有最大值,并求这个最大值。14、已知二次函数的顶点坐标是(2,1)且与一次函数的图象交于(0,-3)而此一次函数与直线y=3x平行。求此两个函数的解析式。求此两个函数图象的另一个交点的坐标。设二次函数与X轴交于M、N ,以MN为直径作p,求原点O到p的切线的长。15、已知:抛物线y=x2-(k-2)x+(k+1)2。求证:不论k取何值,抛物线的顶点总在抛物线y=3x2+12x+9上设抛物线与X轴交于A、B,当AB取最大值时,顶点为C,求k及
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