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两种群相互竞争模型如下:其中x(t),y(t)分别为甲乙两种群的数量,为它们的固有增长率,为它们的最大容量。的含义是,对于供养甲的资源来说,单位数量的乙(相对)的消耗为单位数量甲(相对)消耗的倍,对可以作相应解释。经过计算,该模型无解析解,故用数值方法研究,为此提出以下问题:(1) 设r1=r2=1,n1=n2=100,s1=0.5,s2=2,初值x0=y0=10,计算x(t),y(t),画出它们的图形及图(x,y),说明时间t充分大了以后x(t),y(t)的变化趋势。(2) 改变r1,r2,n1,n2,x0,y0,但s1,s2不变(或保持s11),计算并分析所得结果,若s1=1.5(1),s2=0.7(1,s21s1=1.5,s2=0.7结果正和s1=0.5,s2=2时相反,最后甲物种灭绝,乙物种存活并达到数量极限。如果这时改变r1,r2,n1,n2,x0,y0这些参数,变化趋势和上面列举的相同(甲乙相反),这从方程的对称性上可以求证。现在得出结论,由s1,s2的物理意义,当某个s1或者s2大于1时(另一个小于1),它将严重消耗其作用的物种的生存资源,最终的结果是致使此物种灭绝。(2) s11,s21,s21s1=1.5,s2=1.7 可见虽然s1,s2都大于1,但由于s2更大,更严重消耗了乙物种的生存资源,使乙物种在竞争中灭绝。综上所述,s1,s2小于1时消耗生存资源的严重程度较轻,所以甲乙物种可以共存,但两者都达不到最大值;当其中之一大于1时,对应作用的物种就会由于生存资源的过度消耗而灭绝;当s1,s2都大于1时,两物种竞争激烈,最后s1,s2中更大者对应作用的物种灭绝。所谓物尽天择,自然资源是有限的,需要更少资源就能生存的物种在竞争中将占有优势。还有一种情况,当s1,s2都大于1但相等时,由于方程的对称性,甲乙两物种都能生存下来,但都不能达到最大值。
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