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东城区-第一学期期末教学统一检测高三数学(理科) 学校_班级_姓名_考号_本试卷分第卷和第卷两部分,第卷1至2页,第卷3至5页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷(选择题 共40分)一、本大题共8小题,每题5分,共40分。在每题列出的四个选项中,选出符合题目规定的一项。(1)设集合,则满足的集合B的个数是 (A) (B) (C) (D)(2)已知是实数,是纯虚数,则等于 (A) (B) (C) (D)(3)已知为等差数列,其前项和为,若,则公差等于(A) (B) (C) (D)(4)执行如图所示的程序框图,输出的的值为 (A)(B)(C)(D)(5)若,是两个非零向量,则“”是“”的(A)充足不必要条件 (B)必要不充足条件 (C)充要条件 (D)既不充足也不必要条件(6)已知,满足不等式组当时,目的函数的最大值的变化范畴是(A) (B) (C) (D)(7)已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重叠,抛物线的准线与轴的交点为,点在抛物线上且,则的面积为 (A)4 (B)8 (C)16 (D)32 (8)给出下列命题:在区间上,函数,中有三个是增函数;若,则;若函数是奇函数,则的图象有关点对称;已知函数则方程 有个实数根,其中对的命题的个数为 (A) (B) (C) (D)xyO13y=3x2第卷(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每题5分,共30分。(9)若,且,则 (10)图中阴影部分的面积等于 (11)已知圆:,则圆心的坐标为 ;若直线与圆相切,且切点在第四象限,则 (12)一种几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 (13)某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价,第二次提价;方案乙:每次都提价,若,则提价多的方案是 .(14)定义映射,其中,已知对所有的有序正整数对满足下述条件:;若,;,则 , 三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字阐明,演算环节或证明过程。(15)(本小题共13分)已知函数()求的最小正周期及单调递减区间;()若在区间上的最大值与最小值的和为,求的值(16)(本小题共13分)已知为等比数列,其前项和为,且.()求的值及数列的通项公式;()若,求数列的前项和.(17)(本小题共14分)如图,在菱形中,是的中点, 平面,且在矩形中,()求证:;()求证: / 平面;ABCDENM()求二面角的大小.(18)(本小题共13分)已知,函数()当时,求曲线在点处的切线方程;()求在区间上的最小值(19)(本小题共13分)在平面直角坐标系中,动点到两点,的距离之和等于,设点的轨迹为曲线,直线过点且与曲线交于,两点()求曲线的轨迹方程;()与否存在面积的最大值,若存在,求出的面积;若不存在,阐明理由.(20)(本小题共14分)已知实数构成的数组满足条件:; .() 当时,求,的值;()当时,求证:;()设,且, 求证:.东城区-第一学期期末教学统一检测高三数学参照答案及评分原则 (理科)一、选择题(本大题共8小题,每题5分,共40分)(1)C (2)B (3)C (4)A(5)C (6)D (7)D (8)C二、填空题(本大题共6小题,每题5分,共30分)(9) (10) (11) (12) (13)乙 (14) 注:两个空的填空题第一种空填对得3分,第二个空填对得2分三、解答题(本大题共6小题,共80分)(15)(共13分) 解:() .3分 因此4分 由,得故函数的单调递减区间是()7分()由于,因此因此10分由于函数在上的最大值与最小值的和,因此13分 (16)(共13分) 解:()当时,.1分当时,.3分由于是等比数列,因此,即.5分因此数列的通项公式为.6分()由()得.则. . -得 9分 .12分因此.13分(17)(共14分)解:()连结,则.由已知平面,由于FABCDENMyxz,因此平面.2分又由于平面,因此.4分()与交于,连结. 由已知可得四边形是平行四边形,因此是的中点.由于是的中点,因此.7分又平面,平面,因此平面. 9分()由于四边形是菱形,是的中点,可得.如图建立空间直角坐标系,则,, ,.,.10分设平面的法向量为.则 因此 令.因此.12分又平面的法向量,因此.因此二面角的大小是60. 14分(18)(共13分)解:()当时,因此,.2分因此即曲线在点处的切线斜率为. 4分又,因此曲线在点处的切线方程为,即6分()由于,因此令,得 8分若,则,在区间上单调递增,此时函数无最小值 若,当时,函数在区间上单调递减,当时,函数在区间上单调递增,因此当时,函数获得最小值10分若,则当时,函数在区间上单调递减,因此当时,函数获得最小值12分综上可知,当时,函数在区间上无最小值;当时,函数在区间上的最小值为;当时,函数在区间上的最小值为13分(19)(共13分)解.()由椭圆定义可知,点的轨迹C是以,为焦点,长半轴长为 的椭圆3分故曲线的方程为 5分()存在面积的最大值. 6分由于直线过点,可设直线的方程为 或(舍)则整顿得 7分由设 解得 , 则 由于 10分设,则在区间上为增函数因此因此,当且仅当时取等号,即因此的最大值为13分(20)(共14分)()解: 由(1)得,再由(2)知,且.当时,.得,因此2分当时,同理得4分()证明:当时,由已知,.因此.9分()证明:由于,且.因此,即 .11分).14分
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