数学分析题库（1-22章）五证明题1设A，B为R中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何有；（2）对任何，存在，使得.证明：证 由（1）可得.为了证，用反证法.若，设，使得.2.设A，B是非空数集，记，证明：（1）；（2）证（1）若A，B中有一集合无上界，不妨设A无上界，则S也是无上界数集，于是，结论成立.若A，B都是有上界数集，且，现设法证明（），无论或，有（）于是同理可证（2）.3. 按定义证明证 （n4），取，当nN时，4，扩大之后的分式仍是无穷小数列.4.如何用-N方法给出的正面陈述？并验证|和|是发散数列.答 的正面陈述：0，N，使得|数列发散，.（1），=，只要取，便可使，于是为发散数列.（2）. 若a=1，=1，取为任何奇数时，有.若a=-1，=1，取为任何偶数时，有. 若a1，=，对任何n，有|. 故|为发散数列.5.用方法验证：.解 （1）消去分式分子、分母中当时的零化因子（x-1）：.（2）把化为，其中为x的分式：，其中.（3）确定的邻域0|x-1|，并估计在此邻域内的上界：取，当0|x-1|时，可得，于是.（4）要使，只要取.于是应取，当0|x-1|时，.6 用方法验证：.解 注意到当时，上式可以充分小，但是直接解不等式，希望由此得到x-M，整个过程相当繁复，现用放大法简化求M的过程.因为由，便可求得，考虑到所需要的是.于是，当x0）上一致连续，因此当很小时，必须在中寻找，这是证明中的困难之处.现不妨取，当n充分大时，能满足，但1.证 ，取，当时，使，但，即在上不一致连续.12. 设函数在（a,b）内连续，且=0，证明在（a,b）内有最大值或最小值.分析 因为=0，于是可把延拓成a,b上的连续函数，然后可以应用连续函数的最大、最小值定理.证人 先把函数延拓成a,b上的函数F(x)，设易知为a,b上的连续函数，这是因为=0=，=0=.在a,b上对应用连续函数的最大、最小值定理，即，在，分别取得最大值和最小值.若，则在（a,b）内恒为零，显然在（a,b）内同样能取得最大值和最小值；若，中有一个数在（a,b）内，则在（a,b）内取得最大值或最小值.13. 证明：若在有限区间（a,b）内单调有界函数是连续的，则此函数在（a,b）内是一致连续的.分析 因为是（a,b）内的单调有界函数，所以由函数极限的单调有界定理，可得存在，.证明本题的合理途径是把延拓成闭区间a,b上的连续函数在a,b上应用一致连续性定理.证 因为是（a,b）内的单调有界函数，所以由函数极限的单调有界定理，与都存在，应用范例1中的方法，可把延拓为a,b上的连续函数，即由一致连续性定理，可得在a,b上一致连续，于是为（a,b）内的一致连续函数.14. 证明：若在点a处可导，f（x）在点a处可导.分析 一般情况下，若在点处可导，在点处不一定可导.例如处可导，但在点0处不可导，反之，若在点处可导，一般也不能推得f（x）在点x0处可导.例如处可导，但处不连续，因而不可导，然而，若在点a处连续，则由在点a处可导就可保证f（x）在点a处可导.若，由连续函数局部保号性，在其中保持定号，因而由在点处可导可推得在点a处也可导.若，且在点a处可导，因为点a为的极值点，所以应用费马定理可以得到，再由此又可证得.证 若，由连续函数局部保号性，在中保持定号，于是在点a处可导，即为在点a处可导.若，则点a函数的极小值点，因在点a处可导，由费马定理有即 因为，所以于是.15. 设函数内可导，在a,b上连续，且导函数严格递增，若证明，对一切均有证： 用反证法，若在区间上分别应用拉格朗日中值定理，使得这与为严格递增相矛盾.16. 设函数在内可导，并且，试证：若当时，有则存在唯一的使得，又若把条件减弱为，所述结论是否成立？分析 因为，若可以找到某点，使得则由的严格递增性，并应用连续函数的介值定理便可证明存在唯一的，使得证 在上应用拉格朗日中值定理，使得于是由于，因此当x充分大时总可使得不妨设，所以上严格递增；在上应用连续函数的介值定理，则,且是唯一的.假设满足，结论可能不成立，例如函数，满足，但因恒小于0，故在中不存在，使得=017. 证明不等式证 令, ,且 当时有，所以严格递增，又在处连续，所以, 所以严格递增, 又在处连续,所以, , 即 . 18. 设为上的连续函数，对所有，且，证明必能取到最大值. 证 由题设, 取, 由, . 又在上连续, 由闭区间上连续函数的最大、最小值定理知, 在能取到最大值, 且此最大值为在上的最大值. 19.若函数在上二阶可导, 且，则存在使得.证法一： , 把在0, 1两点处分别进行泰勒展开到二阶余项, 有 , 上两式相减, 有.记,则有, 即存在使得. 证法二： 在上对应用拉格朗日中值定理有 ，. 当时，在上对应用拉格朗日中值定理有，. 当时，在上对应用拉格朗日中值定理有，. 综上证明知存在使得. 20.应用函数的单调性证明 证明：设 则 ， 而函数单调性定理知在上分别为严格递增和严格递减函数，再由结论知函数在也分别为严格递增和严格递减函数. 由于所以有，有 从而有21.设函数 （为实数），试问：（1）等于何值时，在连续；（2）等于何值时，在可导； （3）等于何值时，在连续；解：(1)要使函数在点连续，即需， 而当时，有， 从而，即函数在点连续. (2) 当时， 由复合函数求导法则可得，即时函数在点可导. (3)由（2）的求解过程可知要使在点连续，首先要求，此时要使在的极限存在并且等于，即需要， 类似于(1)中的证明需要，即当时，函数的导函数在点连续.3分22.设在上具有二阶导数，且满足条件，其中都是非负常数，是内的任一点，证明证因在上具有二阶导数，故存在使得 同理存在使得 将上面的两个等式两边分别作差，得 即因此 而，故23. 设函数上连续，在（a,b）内二阶可导，则存在使得分析 本题可以利用柯西中值定理证明，设两个函数F，G为有然后在a,b上对F,G应用柯西中值定理，本题也可用拉格朗日中值定理证明，下面分别给出两种证法.证证法一 设有F（x），G(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导，不同时为零，于是可以应用柯西中值定理，使得再在应用格朗日中值定理，使得于是有证法二 作辅助函数于是在上对应用拉格朗日中值定理，使得=再在上对应用拉格朗日中值定理， ，使得=注 所证等式在计算方法课程的差分格式中是一个基本公式24.若在点的某个领域上有阶连续导函数,试由泰勒公式的拉格朗日型余项推导佩亚诺型余项公式.证因为具有阶连续导函数,由泰勒公式,有.因为导函数在点的某个领域上连续,所以,当时,.由此可得,于是有,即 .上面推导说明,当导函数在点的某个闭领域内外连续时,可以得到,这与佩亚诺型余项的结论是一致的.25.用泰勒公式证明:设函数在上连续,在内二阶可导,则存在,使得.分析需证等式中出现二阶导数与在,的函数值,试用展开到二阶导数的泰勒公式是一种可行的途径.问题在于选取哪些点为展开式中的和,合理的方法是取,为和.证把在点展开到二阶导数项:把上面两式相加,有.不妨设,于是有.在上对应用达布定理,使得,这样就证得.注在23题中已应用柯西中值定理和拉格朗日中值定理证明了本题,这里应用泰勒公式和达布定理是另一种证明方法.26.设函数在上二阶可导,且在上,.证明在上成立.分析本题是用的上界来估计的上界.可以试用展开到二阶导数的泰勒公式寻找之间的联系.证,把在点处展开成带有二阶拉格朗日型余项的泰勒公式,有,上面两式相减后有,再应用,可得 ,于是有.说明本题结论有一个有趣的力学解释:在2秒时间内,哪果运行路程和运动加速度都不超过1,则在该时间段内的运动速度决不会超过2.27.设是开区间I上的凸函数,则对任何,在上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在