2022版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第三讲 空间点、直线、平面之间的位置关系学案 新人教版2022版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第三讲 空间点、直线、平面之间的位置关系学案 新人教版年级：姓名：第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理双基自测知识点一平面的基本性质公理1：如果一条直线上的_两点_在一个平面内，那么这条直线在这个平面内公理2：过_不共线_的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们_有且只有一条_过该点的公共直线知识点二空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a知识点三异面直线所成角、平行公理及等角定理(1)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的_锐角或直角_叫做异面直线a与b所成的角范围：.(2)平行公理平行于同一条直线的两条直线_平行_.(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_相等或互补_.异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线用符号可表示为：若l，A，B，Bl，则直线AB与l是异面直线(如图)题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面()(5)两两相交的三条直线共面()(6)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线()题组二走进教材2(必修2P52B组T1)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(C)A30B45C60D90解析连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C即为所求的角又B1D1B1CD1C，B1D1C为等边三角形，D1B1C60.故选C3(必修2P45例2)如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA上的点，(1)若且，则E、F、G、H是否共面_共面_.(2)若E、F、G、H分别为棱AB、BC、CD、DA的中点，当AC，BD满足条件_ACBD_时，四边形EFGH为菱形；当AC，BD满足条件_ACBD且ACBD_时，四边形EFGH为正方形题组三走向高考4(2019新课标)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则(B)ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线解析点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，M是线段ED的中点，BM平面BDE，EN平面BDE，BM是BDE中DE边上的中线，EN是BDE中BD边上的中线，直线BM，EN是相交直线，设DE a，则BDa，平面ECD平面ABCD，BEa，BMa，ENa，BMEN，故选B5(2017新课标)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(C)ABCD解析解法一：如图所示，补成四棱柱ABCDA1B1C1D1，连DC1、BD，则DC1AB1，BC1D即为异面直线AB1与BC1所成的角，由题意知BC1，BD，C1D，BCBD2C1D2，DBC190，cosBC1D.故选C解法二：(向量法)如图建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,0,1)，C1，从而(2,0,1)，记异面直线AB1与BC1所成角为，则cos ，故选C解法三：如图所示，分别延长CB，C1B1至D，D1，使BDBC，B1D1B1C1，连接DD1，B1D由题意知，C1B B1D，则AB1D即为异面直线AB1与BC1所成的角连接AD，在ABD中，由AD2AB2BD22ABBDcosABD，得AD.又B1DBC1，AB1，cosAB1D.考点突破互动探究考点一平面基本性质的应用自主练透例1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线解析(1)证明：E，F分别为AB，AD的中点，EFBD在BCD中，GHBD，EFGH.E，F，G，H四点共面(2)EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC同理P平面ADCP为平面ABC与平面ADC的公共点又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线注：本题(2)可改为：求证GE、HF、AC三线共点名师点拨1证明空间点共线问题的方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上2点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合3证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点变式训练1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点解析(1)如图，连接EF，CD1，A1B因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EFA1B又A1BCD1，所以EFCD1，所以E，C，D1，F四点共面(2)因为EFCD1，EFCD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，所以P直线DA所以CE，D1F，DA三线共点.考点二空间两条直线的位置关系师生共研例2 (1)(2019上海)已知平面、两两垂直，直线a、b、c满足：a，b，c，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系(B)A两两垂直B两两平行C两两相交D两两异面(2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论序号都填上)解析(1)如图1，可得a、b、c可能两两垂直；如图2，可得a、b、c可能两两相交；如图3，可得a、b、c可能两两异面；故选B(2)因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故错；取DD1中点E，连接AE，则BNAE，但AE与AM相交，故错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故正确；同理正确，故填.名师点拨1异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到(2)判定定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线2判定平行直线的常用方法(1)三角形中位线的性质(2)平行四边形的对边平行(3)平行线分线段成比例定理(4)公理：若ab，bc，则ac.变式训练2(1)(2021甘肃诊断)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有_3_对(2)(多选题)(2021湘潭调研改编)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是(BD)解析(1)画出该正方体的直观图如图所示，其中异面直线有(AB，GH)，(AB，GD)，(GH，EB)故共有3对故答案为：3.(2)图A中，直线GHMN；图B中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，NHG，因此直线GH与MN异面；图C中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图D中，G、M、N共面，但H平面GMN，GMN因此GH与MN异面，故选B、D考点三异面直线所成的角师生共研例3 (1)(2021广西玉林模拟)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点，则异面直线D1E与A1F所成的角的余弦值为(A)ABCD(2)(2021山东泰安模拟)如图，在三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是(C)ABCD(3)若两条异面直线a、b所成角为60，则过空间一点O与两异面直线a、b所成角都为60的直线有_3_条解析(1)解法一：(平移法)如图，连接BE，BF、D1F，由题意知BED1F为平行四边形，D1EBF，异面直线D1E与A1F所成角为A1F与BF所成锐角，即A1FB，连接A1B，设AB2，则在A1BF中，A1B2，BF，A1F3，cosA1FB.异面直线D1E与A1F所成的角的余弦值为.故选A解法二：(向量法)如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，异面直线D1E与A1F所成角为，则(2,1,0)，(2,1，2)，cos .故选A