2008年元济中学高一数学竞赛选拔赛试题班级 姓名 得分 一、 选择题（每小题只有一个正确选项）1化简得（ ） (A) (B) (C) (D)2已知集合，则下列正确的是（ ）(A) (B)(C) (D) 3当时，则下列大小关系正确的是（ ） (A) (B) (C) (D) 4设圆的方程为，直线的方程为 ()，圆被直线截得的弦长等于 ( )(A) (B) (C) (D) 与有关 5函数是 ( )(A) 周期为的偶函数 (B) 周期为的奇函数(C) 周期为的偶函数 (D) 周期为的奇函数 6设函数的定义域为，的解集为，的解集为，则下列结论正确的是（ ）(A) (B) (C) (D) 7已知为三条不同的直线，且平面，平面，(1)若与是异面直线，则至少与、中的一条相交；(2)若不垂直于，则与一定不垂直；(3)若，则必有；(4)若，则必有其中正确的命题的个数是 ( )(A) (B) (C) (D) 8函数对于任意的恒有意义，则实数的取值范围是 ( )(A) 且 (B) 且(C) 且 (D) 二、填空题9已知，则 10已知A、B是半径为5的圆O上的两个定点，P是圆O上的一个动点，若AB=6，设PA+PB的最大值为，最小值为，则的值为 11已知全集U=，集合M=，集合N=，则集合= 12高一年级某班的部分同学参加环保公益活动-收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，已组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有 个学生13代数式的最小值为 14设5长方体的一个表面展开图的周长为，则的最小值 是 15定义在上的函数满足：，则 16已知函数，若，则实数组成的集合的元素个数为 . 17已知关于的方程（）无实根，则的取值范围是 . 18关于的不等式的解集为，集合，若，则实数的取值范围是 .三解答题（解答应有必要文字说明和演算步骤）19 圆的方程是，点是圆上一个动点，点是关于点的对称点，点绕圆心按逆时针方向旋转后所得的点为，求当点在圆上移动时，点、之间距离的最大值和最小值20已知BCD中，BCD=90，BC=CD=1，AB平面BCD，ADB=60，E、F分别是AC、AD上的动点，且（）求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC；（）当为何值时，平面BEF平面ACD？21设函数的定义域是，且对任意都有若对常数，判断在上的单调性；22.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：1 对任意的，总有；2 ；3 若，且，则有成立，并且称为“友谊函数”，请解答下列各题：(1)若已知为“友谊函数”，求的值；(2)函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.(3)已知为“友谊函数”，假定存在，使得且，求证：.参考答案一、选择题：AACABDCB二、 填空题90得 而10 1112设甲、已、丙三个组的人数分别为则有，故233=，同理，均为整数，则或，检验的方可13数型结合得 14长方体的展开图的周长为，由排序或观察得： 周长的最小值为15 7 16 5 17. (-2,2) 18. 三、解答题19解：设，设圆的参数方程为，则，点是关于点的对称点，当=1时，有最大值|；当时，|有最小值20证明：（）AB平面BCD， ABCD，CDBC且ABBC=B， CD平面ABC. 又不论为何值，恒有EFCD，EF平面ABC，EF平面BEF,不论为何值恒有平面BEF平面ABC. （）由（）知，BEEF，又平面BEF平面ACD，BE平面ACD，BEAC. BC=CD=1，BCD=90，ADB=60， 由AB2=AEAC 得 故当时，平面BEF平面ACD. 21解：(1)对任意，由，存在使得且，又，在上是增函数22. 解：（1）取得，又由，得 （2）显然在上满足1 ；2 .若，且，则有 故满足条件1、2、3，所以为友谊函数.(3)由 3知任给其中，且有，不妨设则必有：所以：所以：.依题意必有,下面用反证法证明：假设，则有或(1) 若，则，这与矛盾；(2) 若，则，这与矛盾； 故由上述（1）、（2）证明知假设不成立，则必有，证毕.