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三角形“三垂直”与“手拉手”形状图形常见辅助线一、三垂直构造全等1.如图,E是正方形ABCD的边DC上的一点,过点A作FAAE交CB的延长线于点F, 求证:DE=BF2.在ABC中,ACB= 900,AC=BC,直线MN经过点C,且ADMN于D,BEMN于E。(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,ADCCEB,且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗?(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时, DE =AD-BE。说说你的理由。(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE,AD,BE 具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系。3.如图,有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD,将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点,两条直角边分别与CD交于点F,与CB延长线交于点E,则四边形AECF的面积是_。4.如图,四边形ABCE中,AB=BC,ABBC,CEAE,BDAE于D,求证:BD-CE=AD.5.如图,ABC中,AB=AC,BAC=90,D为BC上一点,过D作DEAD,且DE=AD,连接BE,求DBE的度数。6.如图,OA=OB,OAOB,ASO=135,求证:ASBS。7.已知ABC中,AC=BC,ACB=90,点P在射线AC上,连接PB,将线段PB绕点B逆时针旋转90得到线段BN,AN交直线BC于点M。(1)如图1,若点P与点C重合,则_,=_(直接写出结果)(2)如图2,若点P在线段AC上,求证:AP=2MC;(3)如图3,若点P在线段AC的延长线上,完成图形,并直接写出=_8.已知ABC,AB=BC,ABC=90,E为直线BC上一点,EFAE且EF=AE,连接CF。(1)如图1.若点E在线段BC上,求FCE的度数;(2)如图2,若点E在CB的延长线上,求FCE的度数(3)如图3,若点E在BC的延长线上,完成作图,并直接写出FCE=_.二、与平面直角坐标系形成“三垂直”全等1.如图,ABC中,AB=BC,ABBC,B(0,2),C,求点A的坐标。2.如图,ACB为等腰直角三角形,AC=BC,ACBC,A(0,3),C(1,0),求B点坐标。3.如图,ACB为等腰直角三角形,A,ACBC。求B点坐标。4.如图,BAC=90,AB=AC,且B,求A点坐标。5.如图,AB=AC,且ABAC,若C,求点A坐标。“手拉手”三角形全等1.已知在ABC中,AB=AC,在ADE中,AD=AE,且1=2,求证:BD=CE2.过点A分别作两个大小不一样的等边三角形,连接BD,CE,求证:BD=CE 3.如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N求证:;4.如图,ABD,AEC都是等边三角形。求证:BE=CD;BFC=120,AF平分DFE;AF+BF=DF5.如图,已知等边ABC和等边BPE,点P在BC的延长线上,EC的延长线交AP于点M,连接BM.(1)求证:AP=CE(2)求PME的度数(3)求证:AMB=BME(4)探究:AM,BM,CM之间的数量关系。6.如图,在平面直角坐标系中,AOP为等边三角形,A(0,1),点B为y轴上一动点,以BP为边向上作等边PBC。(1)求证:OB=OC(2)求CAP的度数。(3)当B点运动时,AE的长度是否发生变化。7.如图,在四边形ABCD中,B=60,D=30,AB=BC.(1)求A+C的度数(2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由。8.(1)如图1,已知ABC,以AB、AC为边向ABC外作等边ABD和等边ACE,连接BE,CD,请你完成作图,并证明:BE=CD;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)(2)如图2,已知ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,DC,BE与CD有什么数量关系?请说明理由。(3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图3,要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离,已知测得ABC=45,CAE=90,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的长。(提示,在Rt中,若C=90,则三边满足)第 页
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