方法六 等价转化法总分 _ 时间 _ 班级 _ 学号 _ 得分_（一） 选择题（12*5=60分）1.【20xx高考新课标3】若 ，则（ ）(A) (B) (C) 1 (D) 【答案】A【解析】由，得或，所以，故选A2.若的定义域为，恒成立，则的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.3【福建省厦门外国语学校高三下学期第一次（开学）】若关于的不等式的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设，由题设原不等式有唯一整数解，从而曲线应在直线下方由于，故在上单调递减，在单调递增，所以由于直线恒过定点，要使中只有一个整数，结合图象得只需由题意得，故实数的取值范围是选B点睛：已知函数的零点（方程解）的个数求参数的取值范围时，一般用数形结合的方法求解解题时结合题意，将题中的方程转化为两个函数的形式，通过对函数单调性的讨论得到函数图象的大体形状，画出函数的图象后，经过对两函数图象相对位置关系的分析再转化为不等式（组），通过解不等式（组）可得所求范围4【湖北省宜昌市高三年级元月调研】已知函数，且，则关于的不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由函数知为奇函数由得到在上递增等价于，解得故的解集为故选.5【20xx课标3，文10】在正方体中，E为棱CD的中点，则（ ）ABCD【答案】C6【天津市耀华中学高三12月】定义在上的偶函数，满足，且在上是减函数，又与是锐角三角形的两个内角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】、为锐角三角形的两内角，则且、又，在上单调递减在上单调递减又是上偶函数在上单调递增故选7【湖南省高三十四校联考】已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性,考查构造函数法解不等式的方法,考查函数的奇偶性与单调性.题目给定,这是一种常见的构造函数的题目,本题是构造函数,构造那种函数,主要利用乘法或者除法的导数进行猜想.8【湖北省宜昌市高三年级元月】定义:如果函数的导函数为,在区间上存在使得,则称为区间上的双中值函数.已知函数是上的双中值函数,则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可知，在区间上存在，满足方程在区间有两个不相等的解则，解得则实数的取值范围是故选点睛：本题主要考查的是导数的运算，并且理解新函数定义，并运用定义解题。根据题目给出的定义可得，即方程在区间有两个不相等的解，利用二次函数的性质解出即可得到答案.9【天津市耀华中学高三12月】已知函数若数列满足，且是递增数列，那么实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A点睛：解决数列的单调性问题可用以下三种方法：用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列；用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断；结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件.10【云南省昆明市第一中学高三第六次】已知函数，若两个正数，满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由可得，即对恒成立，所以在实数上单调递增.因为，由 可得，由题意可得，画出、的可行域，则可看作区域内点与定点的斜率.直线与横轴交于点，与纵轴交于点，又因为，所以，故选C11. 【山西省晋中市高三1月】已知不等式在上恒成立，且函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】不等式 在上恒成立，令,，由图可知，或，即；又在上单调递增，故在上恒成立，综上，.故选D.点睛：不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）； 数形结合(图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数.12.已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【答案】A【解析】设椭圆的左、右焦点分别为，由，代入椭圆方程可得，可设，由，可得，即有，即，可得，代入椭圆方程可得，由，即有，解得故选：A二、填空题（4*5=20分）13【河北省定州中学高中毕业班下学期开学】已知函数满足，且当时.若在区间内，函数有两个不同零点，则的范围为_【答案】【解析】 当时， 故函数 作函数与x的图象所示，过点时， 在区间 内，函数 有两个不同零点，则的范围为故答案为.14.【江西省抚州市高三八校联考】已知圆的方程为，过圆外一点作一条直线与圆交于，两点，那么_【答案】16【解析】 因为圆的方程，所以圆心为，半径， 所以圆与轴交于， 过圆外一点作一条直线与圆交于两点，则与圆相切，且， 由切割线定理得. 15.四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，则该球的体积为 _ 【答案】16【江西省抚州市高三八校联考】已知函数 (其中为自然对数的底数)，曲线上存在不同的两点, 使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是_【答案】【解析】 曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，等价于函数有两个不同的极值点，等价于有两个不同的实根， 令，得， 令，则条件等价于直线与曲线有两个不同的交点， ，当时，；当时，；当时，；从而当时有最大值在上递增，在上递减，当时，当时，如图所示，所以实数的取值范围是.三、 解答题（共6道小题，共70分）17.【甘肃省高三第一次诊断】中，三个内角的对边分别为，若，且.（）求角的大小；（）若，求周长的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（）由，得，由正弦定理边化角得，从而得解；（）根据余弦定理可知，进而得，再由两边之和大于第三边，即可得范围.试题解析：（），则有，.（）根据余弦定理可知，又，则周长的取值范围是. 18.已知函数（1）求的单调区间；（2）当时，若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)f(x)在上是增函数，在上是减函数；(2).【解析】【试题分析】(1)求函数的定义域,求导后写出单调区间.(2)原不等式等价于恒成,构造函数,利用导数求得函数的最小值,由此求得实数的取值范围.【试题解析】（1）f(x)定义域为，解得，解得，f(x)在上是增函数，在上是减函数；（2）不等式等价于，令，解得，解得，g(x)在上是减函数，在上是增函数，g(x)在时取最小值，故A的最佳取值为19.过抛物线上的点作倾斜角互补的两条直线，分别交抛物线于两点(1)若，求直线的方程；(2)不经过点的动直线交抛物线于两点，且以为直径的圆过点，那么直线是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由【答案】（1）（2）恒过点（2）设，以为直径的圆过点，则，即，化简，得，过的直线为，恒过点20.【20xx山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.（）设是上的一点，且，求的大小；（）当，求二面角的大小.【答案】（）.（）.思路二：以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.写出相关点的坐标，求平面的一个法向量，平面的一个法向量计算即得.（）解法一：取的中点，连接，.因为，所以四边形为菱形，所以.取中点，连接，.则，所以为所求二面角的平面角.又，所以.在中，由于，由余弦定理得，所以，因此为等边三角形，故所求的角为.解法二：以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因此所求的角为.21. 已知点A,椭圆E:的离心率为；F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（I）求E的方程；（II）设过点A的动直线与E 相交于P,Q两点。当的面积最大时，求的直线方程.【答案】（I）；（II）或.【解析】（I）设右焦点，由条件知，得又，所以，故椭圆的方程为（II）当轴时不合题意，故设直线，将代入得当，即时，从而又点到直线的距离，所以的面积设，则，因为，当且仅当时，时取等号，且满足所以，当的面积最大时，的方程为或22.【甘肃省高三第一次诊断】已知函数，.（）若曲线与曲线在公共点处有共同的切线，求实数的值；（）在（）的条件下，试问函数是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，请说明理由.【答案】（I）；（II）无零点.【解析】试题分析：（）设曲线与曲线公共点为则由，即可求的值；（）函数是否有零点，转化为函数与函数在区间是否有交点，求导根据函数单调性可知最小值为，最大值为，从而无零点（）函数是否有零点，转化为函数与函数在区间是否有交点，可得，令，解得，此时函数单调递增；令，解得，此时函数单调递减.当时，函数取得极小值即最小值，.可得，令，解得，此时函数单调递增；令，解得，此时函数单调递减.当时，函数取得极大值即最大值，.因此两个函数无交点.即函数无零点.